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高考数学:函数与导数压轴题高频考点与破解妙招

2017-12-04  明宁轩

函数与导数是高中数学的重点内容,在新课标全国高考试卷中约占22~27分,函数与导数知识的选择、填空题大多在12,16题的位置,解答题常在20,21题的位置,均属压轴题,它也是高中数学中的难点内容,能否突破函数与导数题是高考得高分的关键.本文聚焦函数与导数压轴题,谈其应对策略,旨在帮助2016届考生突破难关,赢得高考.

1以导数面目包装的函数性质的综合应用

有关函数与导数的小题压轴题是新课标全国卷的高频考题,高频题型:①以导数面目包装的函数性质题(单调性、奇偶性、最值等);②用导数法判断函数f(x)的图象或已知函数图象求参数的取值范围;③函数与集合、不等式、数列、平面向量、新定义等知识相交汇.

【命题意图】本题主要考查函数与导数、函数的单调性、函数的最值、函数的零点等知识,意在考查考生的化归与转化能力、数形结合能力和运算求解能力.

【攻略秘籍】破解以导数面目包装的函数性质综合题需过双关:第一关是“还原关”,即先还原出函数的解析式;第二关是“数形关”,即不等式恒成立问题与有解问题多需要数形结合,即可轻松解决.

2利用导数研究函数的单调性、极值与最值

利用导数研究函数的单调性、极值与最值是高考的一棵“常青树”, 高频题型:①判断函数f(x)的单调性或求函数f(x)的单调区间;②求函数f(x)的最值或极值;③由函数的单调区间、最值或极值求参数的值.

【命题意图】本题主要考查函数的极值、利用函数的单调性求参数的取值范围,意在考查分类讨论思想和方程思想,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力.

【攻略秘籍】破解此类题的关键:一是方程思想,即对于含有参数的可导函数有极值的关键是对参数进行分类讨论,并寻找其导数为零的根,以及在根的左、右两侧导数的符号;二是转化思想,即可导函数f(x)在某个区间D内单调递增(或递减),则有f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)在区间D内恒成立,从而把已知函数的单调性问题转化为恒成立问题来解决,这里需注意“=”的情形.

3函数、导数与零点相交汇

如稍加留神,便可以发现,函数、导数与函数的零点(方程的根)相交汇的考题在近年的高考中扮演着重要的角色,高频题型:①判断函数的零点(方程的根)的个数问题;②已知函数在给定区间的零点(方程在给定区间的解)的情况,求参数的取值范围或证明不等式成立.

【命题意图】本题主要考查函数的零点、函数的最值、导数及其应用、基本不等式等知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识.

【攻略秘籍】破解此类难题要过好三关:第一关,应用关,即利用导数法求函数的单调区间与最值,一般是求导数,在定义域范围内,令导函数大于(小于)零,得其单调递增(减)区间,从而求出函数的单调区间,再由函数的单调性,可求其最值;第二关,转化关,即把判断函数的零点个数问题转化为判断函数最值的符号问题;第三关,构造函数关,即通过构造函数,把比较大小问题转化为判断函数的单调性问题.

4函数、导数与不等式相交汇

函数、导数与不等式相交汇的试题是2015年高考题中比较“抢眼”的一种题型.对于只含有一个变量的不等式问题,常通过构造函数,利用函数的单调性和极值来证明,高频题型:①用导数法解决含参不等式恒成立问题;②用导数法解决含参不等式有解问题;③证明不等式.

【命题意图】本题主要考查函数的单调性与极值点、不等式恒成立问题、证明不等式等知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想.

【攻略秘籍】破解此类不等式证明的关键是通过构造函数、利用导数法判断函数的单调性来证明不等式.根据题设条件的结构特征构造一个函数,一是需要预设与所证不等式有相同的结构;二是需要熟练掌握简单复合函数的求导变换.不等式恒成立求参数的取值范围常利用“分离参数法”,也可以单刀直入地利用导数法,通过分类讨论使问题获解.注意恒成立问题与能成立问题的区别.

从以上四例可以看出,只要我们对“函数与导数类”压轴题常见类型心中有数,把握其实质,掌握其规律,规范其步骤,做到“胸中有法”,那么不论高考“函数与导数类”压轴题的构思多么新颖,我们都能做到以不变应万变,此类压轴题就能迎刃而解.

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