函数关系变量之间的数量关系。如位移与速度的关系,面积与边的关系,圆面积与半径的关系等。 导函数一个函数的因变量相对于自变量变化的快慢,即“变化率”,称为函数的导数。如有函数f(x),导数用f'(x)表示: 而f(x)相对于导数f'(x)而言,可称为f'(x)的原函数。 直接利用上面的公式定义,通过分割、求和、求极限的黎曼和方法,可以求得: f'(x²) = 2x f'(x³) = 3x² f'(x^n) = nx^(n-1) 由此可见,导函数与原函数有降维与升维的逆运算关系。 面积计算如果组成图形的一条边(x轴)与另一条边(常量),则此图形就是一个长方形面或正方形,面积也是一个常量。 如果组成图形的一条边(x轴)与另一条边(变量y),两者不存在函数关系,如何计算其面积? 分割、求和,只能去近似整体面积(面积与边自然不存在函数关系)。 如果组成图形的一条边(x轴)与另一条边(变量y),两者存在函数关系f(x),是否可以精确计算其面积A(x)? 如y=x² 有 通过分割、求和、可以求极限,得到黎曼和。当n→∞,上述区间面积=1000/3。 面积A,相对于两条边x和f(x),存在函数关系吗? 仿佛有降维与升维的关系? 定义面积函数为A(x),如下图: 关键在于找出A(x)的一般表达式,这个表达式是积分表达式的替代,这个表达式里要没有符号∫、f、d,只包含变量x。
当积分的上限为x,在此基础上,做自变量x和面积函数的微分,自变量x增加一个极小值h(dt): 上图淡红色的阴影部分, 当 h 很小的时候几乎为小竖条, 所以可以用计算长方形面积的方法来估算该竖条的面积, 它的底从x 到x+h, 高从0 到f(x), 所以面积是 h*f(t) , 也就是: 由此可见,函数f(x)的反导数就是面积函数F(x),这就是微积分的基本定理。 从上面的图形可以看出,上下两条边有函数关系存在时,其面积是可以精确计算的。 x²的反导数为1/3x³,所以上述所需求出的面积为:F(10)-F(0)=1000/3。 速度v,时间t、位移s如果是匀速运动,那三者显而易见有确定的函数关系。 如果时间t与速度不存在函数关系,怎样通过时间和速度的测量去衡量移动的距离?只能一段一段去近似,测一个小时间段的速度和时间间隔: ∑(小段位移 = 这个时间间隔内的近似速度 * 时间间隔) 如果速度与时间存在函数关系,如有v(t)=t(8-t),那是否可以精确计算位移距离? 由(t(8-t))'=8-2t=0,求得当t=4m时,物体的最大速度是16m/s。速度v∈[0,16],时间[0,8],位移S粗略估计应该小于16*8=128m。 由上述长方形面积的推导可知,面积函数就是其边函数的逆运算。同样的,在当时间与速度存在函数关系时,位移函数与速度函数也是逆运算的关系。 S(t)=F(t)=∫(t(8-t)dt=4t²-1/3t³=4*8²-1/3*8³=85.33m。 参考 |
|