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一、选择题把关题  为书写方便，表达清楚，设CE＝1，则BE＝2，由题易得Rt△ADF≌Rt△CDE（ASA）故AF＝CE＝1，且DF＝DE，从而△DEF为等腰直角三角形；    基本策略二：基于导角分析，采取相似法 除了可以解△BFG，若能敏锐地发现△BFG∽△BDE，便可以直接借助相似三角形的性质迅速解决问题. 下面提供几种相似方法：  后来发现解法3的导角都显繁琐了，只需要识别如下“8字形”结构，即可轻松导角.       二、填空题把关题 第17题：如图2，若△ABC内一点P满足：∠PAB＝∠PBC＝∠PCA，则点P称为△ABC的布洛卡点.三角形的布洛卡点是数学爱好者布洛卡在1875年发现，并用他的名字命名的.若在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P为△ABC的布洛卡点，BP＝4，则AP＋PC＝ . 布洛卡点是三角形中一个有趣的点，其尺规作图法就是一个极其有趣的话题，关于其性质等，可以网上查阅. 下面提供此题的若干有趣解法： 基本策略一：基于导角分析，采取相似法 画图细分析，导角出相似；巧借相似比，妙解边长题. 反思：此外，得到△BPC≌△BEA后，还可由∠AEB＝∠CPB＝135°，从而∠AEP＝135°－45°＝90°，来导出等腰Rt△PAE，这样看上去更简单一些； 值得一提的是，解法3中并没有提及旋转辅助线，而是通过作垂线延长相交的方式，证出等腰Rt△PBE，从而构造出“共直角顶点的双等腰直角三角形手拉手模型”； 若是将△BPC绕着点B逆时针旋转90°至△BEA位置，连接PE，则需要证明∠CPE＝∠CPB＋∠EPB＝135°＋45°＝180°，即C、P、E三点共线； 两种辅助线的添法，最终殊途同归，达到了同样的效果.笔者建议：用旋转的眼光看问题，借第一种辅助线来书写过程，这样更简洁些，避免“三点共线”的证明，当然还是旋转本质. 既然可以绕点B逆时针旋转90°，当然可以绕点B顺时针旋转90°，如图2－4所示，请自行探究. 旋转第二层次：“见不等三爪图，造旋转相似（含全等）型”，其核心结构如图2－5所示，其中△ABC形状确定，要探究PA、PB、PC三条线段（所谓“三爪”）之间的关系，可以考虑作旋转变换，绕点A、B、C或顺转或或逆转，一般有六种转法，故称“旋转六法”. 前面的两种旋转全等法，都是绕着点B旋转90°，还可以绕着点A或C旋转45°. 反思：解法5相当于将△ABP绕点A逆时针作“旋转位似变换”，还可以顺转，如图2－9所示，不再赘述. 这里的“旋转位似变换”，将旋转作为“工具”使用，而非知识考查，这正是难点之所在.旋转就像一把扳手，将“不等三爪”转移到同一三角形中，使条件集中化. 反思：解法6与解法4殊途同归，只是出发点略有不同，辅助线大同小异，还有其他的平四构造法，不再赘述. 下面这图，更清楚些： 基本策略六：轨迹意识定位法 导角可得∠APC＝∠BPC＝135°，∠APB＝90°，如图2－23， 由“定边对定角”模型，点P可以由A、B、C三点借助辅助圆唯一确定，如图2－24或图2－25所示. 从这个角度分析问题，确定的必可求，怎么确定怎么求. 这里的轨迹定位意识，也是此题画图的基本原理，给人很多丰富的联想，看似复杂，但本质而科学，值得琢磨反思，让人回味无穷. 举个例子来说，比如由图2－24显知PD＝AD＝AB，结合解法10，又会有新的变化. 结合图2－25，笔者又联想到构造正方形中“半角模型”，如图2－25所示，甚至还可以结合“12345模型”等比例口算，趣味无限. 当然，这里也仅仅是“瞎想”与“遐想”的一些结果，觉得头晕，无需深究. 基本策略七：建系解析法 此题依然可以建系解析搞，如图2－26或图2－27，求出直线AD与BP的解析式，联立求出交点P的坐标，利用BP＝4，可求得t的值，进而求出PA与PC的长度. 解析法，思维单一，易于操作，但计算量颇大，轻易不得使用.此外，若借助于上面圆的轨迹意识，利用圆的性质，即圆上各点到圆心的距离处处相等，还会产生新的解析法，这样计算量更大，了解便可. 第18题：如图3，在等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上任一动点，连接CD，E为CD的中点，连接BE，则BE的最大值与最小值之和为 . 此题短小精悍，方法多样，但万变不离其宗，主要依据条件“E为CD的中点”，既可采用中点常见的处理手段，也可利用传说中的“瓜豆原理”. 基本策略一：中点处理 要求两点之间距离的最值，可以再找一个“第三点”，使这两点到此“第三点”的距离均为定值，然后借助“两点之间线段最短”或“三角形的三边关系”快速锁定答案. 反思：中点的常见处理策略有：①等腰三角形“三线合一”定理；②垂直平分线的性质定理；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④中位线模型；⑤倍长中线法等. 最值问题基本处理策略：①两点之间，线段最短；②垂线段最短等. 策略一采用中点处理策略，将问题转化为了“两点之间，线段最短”，这是很多最值问题的解题出路，关键是如何转化，转化成什么等. 数学中无处不存在转化，没有转化，就没有数学.转化策略妙无穷，需要同学们在学习中认真去体会. 基本策略二：瓜豆原理 此题还可以如下分析： 问1：BE为什么有最值？ 答1：从运动变化的角度分析，B为定点，E为动点，故BE是动线段，其值变化，因而可能有最值. 问2：既然BE的最值源于点E的运动，目光当然要锁定动点E，点E是如何运动的呢？ 答2：从动静的角度分析，题目中共有五个点，“三定两动”，即A、B、C为定点，D、E为动点.D是“主动点”，E是“从动点”，即点E随着点D的运动而运动. 问3：点E与点D存在着必然的因果关系，E可以看作由D经过怎样的变换得到呢？ 答3：从运动变换的角度分析，由E为CD的中点且C为定点，可以将“从动点”E看作由“主动点”D以定点C为位似中心，以1:2为位似比变换得到. 问4：“主动点”D在⊙A上运动，与之相关的“从动点”E的轨迹确定吗？是什么？ 答4：从轨迹思想的角度分析，每一个点E都可以看成相应的点D经过上述的位似变换得到，既然点D的运动轨迹是圆，自然地，点E的运动轨迹必然也是圆，此谓“种瓜得瓜，种豆得豆”，简称“瓜豆原理”. 这里“瓜豆原理”的本质是位似性质，即位似前后的图形相似，且相似比等于位似比. 问5：“从动点E”的轨迹圆如何确定呢？ 答5：要想确定一个圆，只需找其圆心，确定位置；算其半径，确定大小. 图形变换的本质是点变换；反过来，（动）点的变换其实也可以看成（动）点所在图形的变换.这是一种可逆思维，用“集体行动，步调一致”解释再形象不过，即所谓的“捆绑变换”，是一种整体思想在几何变换中的应用. “从动点”E可看作由“主动点”D以定点C为位似中心，以1:2为位似比变换得到，由“捆绑思想”可知：“从动点”E的轨迹圆心F也是由“主动点”D的轨迹圆心A以定点C为位似中心，以1:2为位似比变换得到，即为AC的中点；其半径也是⊙A半径的1/2，即为1/2，如图3－3所示. 解法3（“瓜豆原理”法）： 如图3－3，由前面的分析，易知BE的最值问题转化为定点B到定⊙F的“点圆距离”最值问题，其中圆心F是AC的中点，半径FE为1/2，下略. 反思：策略二“瓜豆法”与策略一“中点法”殊途同归，前者解释了为什么这么添加辅助线，后者更多的是“异想天开”式地奇思妙构. “瓜豆法”更具备普适性，是此类问题的通解通法，而“中点法”看上去更简洁些，两者各有裨益，可相互结合使用. 反思：中点变成了三等分点，无论是瓜豆法还是几何法照用无误，瓜豆法依然用位似变换的眼光看，而几何法则由题中的三等分点，再取一个三等分点，构造出平行A字型相似，体现出“有什么，配什么；缺什么，补什么”的对称思想，充分表达了几何的和谐之美，需要大家用心类比、体悟！依次类推，问题可改编为任意n等分点，搞懂了原理，想咋玩就咋玩. 将问题升级，请看下面的二次“瓜豆题”： 变式2（二次“瓜豆”）：如图3－8，在等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上任一动点，连接CD，E为CD的中点，连接BE，取BE的中点M，连接AM、CM，分别求出AM、CM的最大值与最小值. 反思：瓜豆法直指本质，指引我们构造出解法2中的相关辅助线，即瓜豆法告诉我们为什么，解法2告诉我们是什么，孰优孰劣，不言而喻.而解法3中，转化味道，极其浓烈，让人回味无穷，实在有趣！ 此外，照此思路编题，还可“三次瓜豆”，甚至“n次瓜豆”……，创造无极限！ |
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