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高中数学到底是什么个东西?- 纯干货高分秘籍

2017-12-12  沧海一粟1...



1
数学难


数学难,难于上青天,函数几何体,数列向量难,圆锥曲线完全懵,平面向量梦如烟,立体几何像天书,三角函数坑了爹,地崩山摧壮士死,然后数学考试相继完。上有必修五册之高标,下有选修必考之深坑。学霸挣扎尚不得过,学渣挠头欲狗带。


(李白蜀道难也难)


其实高中数学就学了两个东西:

① 数学知识,

② 数学方法。


我们考数学,其实就是在考不同题型下,用恰当的数学方法把学到的数学知识组合起来解决不同的数学问题。

所以,学好数学有三点:学习知识,把握题型,提取方法

本文主要是通过具体例子,来让大家感受高中数学的核心思想:不同题型对应不同方法。学数学就是一个归纳出题类型和解题方法的过程。


对于每一个考上高中的人来说,智商水平足够应付高中各科的学习和考试……

学不好,就是没有把学习做的漂亮。



例如说一个人如何考到700分?数学145,英语140,语文135,综合280. 如何达到这个分数?学会,做对,做题快。 又如何学会?学会数列,学会…… 我如何学会数列?学会基本知识,明白如何考察,那如何才能知道高考是怎样考察的呢?分析高考题,把握出题老师的意图,对症下药,努力努力勤恳,最终,把不可能变为了可能。

总结一句话,就是:根据目标制定路线,实施路线的时候缺啥补啥


 

好了,来聊聊数学。数学的属性是工具,解决科学以及工程问题的学科。

数学的核心是思想,比如有些时候需要换元,有些时候需要数形结合……

高中数学就是先让你学一些简单的知识素材,然后通过这些素材考察你数学思想的应用。


首先翻开课本,把书看一遍,读懂原理,该背的公式都背过。


然后拿出练习册,把题目做做。练练手。顺便对基础知识有进一步了解。


最关键的步骤是通过这些题目要问问自己,解这个题的时候。


用了什么策略,以及什么时候应该用这种策略。

 

2
数学到底在讲什么?


讲了集合,逻辑用语,算法初步,函数(指数,对数,三角……),导数,向量,解析几何(直线、圆、圆锥曲线),立体几何,计数原理,概率统计,数列,不等式,虚数等等。其实说到底学习高中数学最大的困惑不在于到底讲了什么,而在于学这些内容到底TM有什么用。


3
高中数学有什么用?


高中物理高中化学都在讲一个故事,高中数学其实是在下一盘很大的棋。

我们小学数学学到的东西都是:总数=平均数X个数。 电学告诉你电功=电功率X时间。力学告诉你动量变化=力X时间。


然而现实生活中,所有的数量都是变化的,如何解决这类问题?答:微积分。


微积分的核心思想就是:把一个不规则形状分成无数个无限小的微元。然后再把这些微元相加,得到总量。


想学好微积分,必须学会第一步:微分。即高中学的导数。导数的研究对象是函数。所以,得学会各种函数。函数的众多极限的性质都是通过数列获得的,得学会数列


准确表达一个函数的时候,得需要定义域和值域,所以,得学好集合。当自变量不止两个时,得学习更高维度的微积分,得学好立体几何。有时候微积分求解特别困难,利用欧拉公式求解可以大大简化,为了理解欧拉公式,得需要知道虚数

 

直线,圆和圆锥曲线都是从物理上挖掘出来的。所以也要学好。

计数原理与概率统计。与生活息息相关,这也是为什么大学开设众多专业只有为数多的不需要学高等数学的原因。


数学的本质是工具,人类想定量世间万物,各个领域的专业课都是在说最本质的规律,比如欧姆定律,动量定理,即如何发现这个世界,但最终落脚点在于数学,因为仅仅需要控制是不够的,还得定量。定量的过程就是使用数学的过程。

 

4
数学的6道大体分解


数学后面六道大题。分别是三角函数,概率统计,立体几何,数列,圆锥曲线,函数与导数。


每个题都有对应的出题套路,每一种套路都有对应的解题方法。


1,三角函数    

它共有两种考法。大概百分之15%的概率考解三角形,80%的概率考三角函数本身。


1,解三角形。不管题目是什么,要明白关于解三角形,我们只学了三个公式,正弦定理,余弦定理和面积公式。所以,解三角形的题目,求面积的话要用面积公式。至于什么时候用正弦和余弦,如果不能迅速判断,都试一下。

2,三角函数。一般是给一个比较复杂的式子,然后问这个函数的定义域值域周期频率单调性等问题。解决方法就是首先利用“和差倍半”对式子进行化简化

形式,然后求解


掌握以上公式。关于题型见下图。

2,概率统计 

概率统计应该是最容易理解的大题部分。因为没有太多函数/摊手

3,立体几何     

相比于前面两道题要稍微复杂一些,可能会卡住。这题一般有2-3问,前面问的某条线的大小或者证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直,最后一问是求二面角。


这类题解题方法有两种:

①传统法

②空间向量法。


向量法:

使用向量法的好处在于好理解。缺点就是计算量大,且容易出错。

应用空间向量法,首先应该建立空间直角坐标系。建系结束后,根据已知条件可用向量确定每条直线。其形式为AB=(a,b,c)。然后进行后续证明与求解。


箭头指的是利用前面的方法求解。如果你觉得乱乱的,再看一张无箭头。


传统法:


我们在学立体几何的时候,讲了很多性质定理和判定定理。但是针对高考立体几何大题而言,解题方法基本是唯一的,除了6和8有两种解题方法以外,其他都是有唯一的方法。所以,熟练掌握解题模型,拿到题目直接按照标准解法去求解便可。


另外,还有一类题,是求点到平面距离的。这类题百分之百用等体积法求解。

 

4,数列    


从这里开始,就明显感觉题目变难了,但是掌握了套路和方法,这题并不困难。数列主要是求解通项公式和前n项和。

首先是通项公式。

看题目中给出的条件的形式。不同形式对应不同的解题方法。

 


通项公式的求法我给出了8种,着重掌握1,4,5,6,7,8。其实4-8可以算作一种。除了以上八种方法,还有一种叫定义法,就是题中给出首项和公差或者公比,按照等差等比数列的定义进行求解。鉴于高考大题不会出这么简单的,以及即使出了,默认大家都会,我就没列出这种方法。

下面说说求前n项和。求前n项和总共四种方法。倒序相加法,错位相减法,分组求和法,裂项相消法。以后求前n项和,就只需要考虑这四种方法就可以了。

同样的,每种方法都有对应的使用范围。


当然,还有课本上关于等差数列和等比数列求前n项和的方法。在此就不列举。

五,圆锥曲线

 

高考对于圆锥曲线的考察也是有套路可循的。一般套路就是:前半部分是对基本性质的考察,后半部分考察与直线相交。如果你做高考题做得足够多的话,你会发现,后半部分的步骤基本是一致的。即:设直线,然后将直线方程带入圆锥曲线,得到一个关于x的二次方程,分析判别式,韦达定理,利用维达定理的结果求解待求量。

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所以,学好圆锥曲线需要明白三件事。


1,三种圆锥曲线的性质

在此不列举,请大家自行总结。


2,求轨迹的方法

求动点的轨迹方程的方法有7种。下面将一一介绍,不过,作为前半部分,求轨迹方程不会特别难的,如果前面就把学生卡住了,那后面直接没法做了。我们幻想,并没有如此变态的出题老师。

a)直接法(性质法)

这类方法最常见,一般设置为第一问,题干中给出圆锥曲线的类型,并给出部分性质,比如离心率,焦点,端点等,根据圆锥曲线的性质求解a,b。

b)定义法

定义法的意思就是题目中给出的条件其实是某种我们学过的曲线的定义,这种情况下,可以根据题目描述,确定曲线类型,再根据曲线的性质,确定曲线的参数。


各曲线的定义如下:

到定点的距离为定值的动点轨迹为圆;

到两个定点的距离之和为定值的动点轨迹为椭圆;

到两个定点的距离之差为定值的动点轨迹为双曲线;

到定点与定直线的距离之比为定值的动点轨迹为圆锥曲线,根据比值大小确定是哪一种曲线


c)直译法

顾名思义,就是直接翻译题目中的条件。将题目中的文字用数学方程表达出来即可。


d)相关点法

假如题目中已知动点P的轨迹,另外一个动点M的坐标与P有关系,可根据此关系,用M的坐标表示P的坐标,再带入P的满足的轨迹方程,化简即可得到M的轨迹方程。


e)参数法

当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,可以先找到x、y与另一参数t的关系,得再消去参变数t,得到轨迹方程。


f)交轨法

若题目中给出了两个曲线,求曲线交点的轨迹方程时,应将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程。

 


g)点差法

只要是中点弦问题,就用点差法。


3,与直线相交

这题啊,必考。而且每年形式都一样。基本长这样:有一条直线,与这个圆锥曲线相交于两个点A,B,问巴拉巴拉……我先从理论上说说这道题的解题步骤。

步骤1:先考虑直线斜率不存在的情况。求结果。(此过程仅需很简短的过程)

步骤2:设直线解析式为Y=kx+b(随机应变,也可设为两点式……)

步骤3:一般,所设直线具有某种特征,根据其特征,消去上式中k或b中的一个。

步骤4:联立直线方程和圆锥曲线方程,得到:ax2+bx+=0

步骤5:求出判别式,令>0(先空着,必要时候再求>0时的取值范围)

步骤6:利用韦达定理求出x1x2,x1+x2(先空着,必要时再求y1y2)

步骤7:翻译题目,利用韦达定理的结果求出所求量。

举例一道典型的题,先给大家演示一下万年不变的步骤。


计算量最大,最消耗时间的地方我都是先不算,立上flag,因为在高考的时候,花费很长时间最多丢两三分,不太划算。当然,有时间一定要算啊。


6,函数与导数    


导数这块的步骤也是固定的。

导数与函数的题型,大体分为三类。

1,关于单调性,最值,极值的考察。

 2,证明不等式。 

3,函数中含有字母,分类讨论字母的取值范围。


无论是哪种题型,解题的流程只有一个。如下图所示。


例题比较简单,但是注意两点:

① 任何导数题的核心步骤都是以上四部,

② 时刻提醒自己定义域。


以上例题属于第一类题型


第二类题型,证明不等式,需要先移项,构造一个新函数,可以使不等号左边减去右边,构成的新函数,利用以上四个步骤分析新函数的最值与0的大小关系,可以得证。此为作差法。还有一种方法叫作商,即左边除以右边,其结果与1做对比。不过此方法不建议使用,因为分母有可能为0,或者正负号不确定。

还要注意逻辑。如果证明A≤B,新函数设为A-B,需要A-B的值最大值小于等于0第三类问题。求字母的取值范围。先闭着眼睛当成已知数算,算完以后列表,针对列表中的结果进行分情况讨论。(一般,题目都会写明字母不为0)

我并没有把所有的题型总结完,我只是提出一个思路,给一个示范,大家课下去自行总结。最后,重申三点:记住基础知识素材,总结题型,提取解题策略

 

所以发没发现一个特点!!!


高中要求的是深挖解题思路,解题思路怎么来?通过熟记公式定理并会应用来的,熟记公式并会应用怎么来的,是要对定理公式达到“底层”层面的理解。

因为小学初中高中数学知识是渐进性散布的,高一就跟不上数学的同学可能需要反思一下,是不是初中数学就没学的太优秀。

 

如果没有及时回顾高中必要的知识点,就会陷入刚开始跟不上,然后就永远跟不上的死循环。


(小编发现了一个视频,讲的浅显易懂,告诉你数学为啥学不好)

 


当我们找到了班级里的学霸请教


学霸,数学到底怎么学,我为什么感觉这么难。


把公式定义记清楚了,这个题这么,那么,这样,那样就解出来了,数学很简单的,别着急,慢慢学。


于是我们这群数学学渣似懂非懂的回到了座位,翻开学霸刚给自己讲的一道题又是满脸懵逼这题到底为啥这么解。


学霸并不是吝啬不教你,而是连前后推导的原理自己都不懂,学霸是真的在认真教你,而自己也是真的在认真的不会。


于是你再次放弃…

于是我们这群学渣开始偏科…

于是我们到了高考…

于是我们因为偏科只能上一个普通到极点的大学,而学霸却清华北大985

于是,因为一科数学的分数,高考之后我们的人生可能就会大有不同。


这个问题怎么解决?四个字来形容:从头解决。


高中数学人教版数学由五本必修和6本必考选修组成,共涉及近203个知识点其中重点,难点,考点是:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数。其中又涉及到集合,不等式,导数,复数,概率等等考点。

 

接下来一段时间我们将跟着所有人一起在期中考试结束后,做至少60道数学经典好题,解析高中数学各个知识点将都在试题中的体现。

 

既然已经在初中数学时候就拉下了,那么不如从各类经典考题中总结发现自身知识点的欠缺,有目标的去补充。

 


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