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学习乘法公式应注意的问题 乘法公式是初中数学中的重要公式之一，应用也很广泛．但要真正学好它，必须注意以下几点： 一、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”． 例1 计算(-2x2-5)(2x2-5) 分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b． 解：原式=(-5-2x2)(-5+2x2) =(-5)2-(2x2)2=25-4x4． 例2 计算(-a2+4b)2 分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略） 二、注意为使用公式创造条件 例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)． 分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式． 解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕〔(2x+5)-(y-z)〕 =(2x+5)2-(y-z)2 =4x2+20x+25-y+2yz-z2． 例4 计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2 分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便． 解：原式=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2 =[(a3-1)(a6+a3+1)]2 =(a9-1)2=a18-2a9+1 例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)． 分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简． 解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =（28-1）（28+1） =216-1 三、注意公式的推广 计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到： (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． 可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍． 例6 计算(2x+y-3)2 解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3) =4x2+y2+9+4xy-12x-6y． 四、注意公式的变换，灵活运用变形公式 例7 (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值； (2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值． 分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单． 解：(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得100=103-3xy·10， ∴xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40． (2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1． 例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2． 分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决． 解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2 =2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2] =2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2 =4a2+4b2+4c2 五、注意乘法公式的逆运用 例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2． 分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多． 解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)] =2a(-4b+6c)=-8ab+12ac． 例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2 分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便． 解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2 =[(2a+3b)+(4a-5b)]2 =(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2． (何东林) |
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来自： 百眼通 > 《10旧版数学-446》
