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旧版《7.6平方差公式》扩展资料

2017-12-18  百眼通


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学习乘法公式应注意的问题

  乘法公式是初中数学中的重要公式之一,应用也很广泛.但要真正学好它,必须注意以下几点:

  一、注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”.

  例1 计算(-2x2-5)(2x2-5)

  分析:本题两个因式中“-5”相同,“2x2”符号相反,因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a,而“2x2”则是公式中的b.

  解:原式=(-5-2x2)(-5+2x2)

      =(-5)2-(2x2)2=25-4x4

  例2 计算(-a2+4b)2

  分析:运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时,“-a2”就是公式中的a,“4b”就是公式中的b;若将题目变形为(4b-a2)2时,则“4b”是公式中的a,而“a2”就是公式中的b.(解略)

  二、注意为使用公式创造条件

  例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).

  分析:粗看不能运用公式计算,但注意观察,两个因式中的“2x”、“5”两项同号,“y”、“z”两项异号,因而,可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式.

  解:原式=〔(2x+5)+(y-z)〕〔(2x+5)-(y-z)〕

      =(2x+5)2-(y-z)2

      =4x2+20x+25-y+2yz-z2

  例4 计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2

  分析:若先用完全平方公式展开,运算十分繁冗,但注意逆用幂的运算法则,则可利用乘法公式,使运算简便.

  解:原式=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2

      =[(a3-1)(a6+a3+1)]2

      =(a9-1)2=a18-2a9+1

  例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).

  分析:此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一项(2-1),则可运用公式,使问题化繁为简.

  解:原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)

      =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)

      =(24-1)(24+1)(28+1)

      =(28-1)(28+1)

      =216-1

  三、注意公式的推广

  计算多项式的平方,由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推广得到:

  (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

  可叙述为:多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的2倍.

  例6 计算(2x+y-3)2

  解:原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)

      =4x2+y2+9+4xy-12x-6y.

  四、注意公式的变换,灵活运用变形公式

  例7 (1)已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2的值;

  (2)已知:x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值.

  分析:粗看似乎无从下手,但注意到乘法公式的下列变形:x2+y2=(x+y)2-2xy,x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),(x+y)2-(x-y)2=4xy,问题则十分简单.

  解:(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),将已知条件代入得100=103-3xy·10,

  ∴xy=30

  故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40.

  (2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1.

  例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2

  分析:直接展开,运算较繁,但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2),因而问题容易解决.

  解:原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2

      =2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]

      =2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2

      =4a2+4b2+4c2

  五、注意乘法公式的逆运用

  例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2

  分析:若按完全平方公式展开,再相减,运算繁杂,但逆用平方差公式,则能使运算简便得多.

  解:原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]

      =2a(-4b+6c)=-8ab+12ac.

  例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2

  分析:此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算,但逆用完全平方公式,则运算更为简便.

  解:原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2

      =[(2a+3b)+(4a-5b)]2

      =(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2

(何东林)

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