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伽马函数的总结

 太昊太 2017-12-18

@(概率论)

Γ(x)=+0tx1etdt

这个可以形象理解为用一个伽马刀,对x动了一刀,于是指数为x-1,动完刀需要扶着梯子(-t)才能走下来。这样,就记住了关键的tx1,t.
性质:

  • Γ(x+1)=xΓ(x)
  • Γ(x)>0,x(0,+)
  • Γ(1)=1

用到概率论中的计算形式是:
t=u2,dt=2udu

Γ(x)=+0u2(x1)eu22udu=2+0u2x1eu2du

这个过程可以瞬间在脑海中演算完毕,注意是2倍在前。

特殊的是,
Γ(12)=2+0eu2du=π
同样,
Γ(1)=1
Γ(2)=1
Γ(3)=2!
Γ(4)=3!

Γ(n)=(n1)!

由此两个基本情况加上伽马函数的基本性质,一大类积分可以轻松求得。

值得注意的是,伽马函数常常用在计算Γ(n),即计算常数的伽马函数值,因为这里定义的幂次是x表示的,很多时候x是做变元,所以要做到能够灵活变通才好。

比如这篇文章里:

http://blog.csdn.net/u011240016/article/details/53440538

就是把x视作变元。

在数学里,字母表达式是很灵活的,需要随时随地想想是不是该把它视作变量看待,是否可以转换一下。

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