旧版《12.2一元二次方程的解法》典型例题

典型例题６－１０

例6 用因式分解法解下列方程。

解: 移项得：

把方程左边因式分解

得：

∴ 或

∴

点拨: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。

例7 用因式分解法解下列方程

解：把方程左边因式分解为：

∴ 或

∴  

点拨: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。

例8　解下列方程：

（1） ；　　　　　　　　　（2） ；

（3） ；　（4）

（5） （用配方法）

解：（1）移项，得

，

方程两边都除以2，得

，

解这个方程，得

，

，

即

，

（2）展开，整理，得

方程可变形为

      或 ，

　　　　　　　　　　　　∴　　

（3）展开，整理，得

，

方程可变形为　

或

　　　　　　　　　　　∴　　

（4）∵　 ，

∴

∴      , 　

（5）移项，得

，

方程各项都除以3，得

配方，得

，

解这个方程，得

,

即

，

    点拨:当一元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式 ( )，若 ，a、c异号时，可用直接开平方法求解，如（l）题．若 ， , 时，可用因式分解法求解，如（2）题．若a、b、c均不为零，有的可用因式分解法求解，如（3）题；有的可用公式法求解，如（4）题．配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如（5）题．

    而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程 可用直接开平方法或因式分解法求解．又如方程 也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移项后提取公因式，得 ，用因式分解法求解，得 ，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以 ，这会丢掉一个根 ．也就是方程两边不能除以含有未知数的整式．

例9  解关于 的方程 （ ）

解法一：原方程可变形为

或

∵ ，

∴                       

解法二：∵ ， ， ，

，

又 ，

∴

∴                  

    点拔 解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零．

对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单．

例10 已知 ，试解关于 的方程

分析 由 ，容易得到 或 ．整理关干x的方程，得 ．题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当 时，方程是一元一次方程；当 时，方程是一元二次方程。

解：由 ，得

,

∴                            

整理 ，得

当 时，原方程为 ，

解得

当 时，原方程为 ，

解得

∴ 当 时，

当 时，

 

典型例题１－５

例1 用直接开平方法解下列方程

分析 用直接开平方法解方程,要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式,右边是非负常数的形式,再根据平方根的定义求解.

解：移项得：

将方程各项都除以4

得：

∵ 是64的平方根

∴

∴

例2 用直接开平方法解下列方程。

解：

   





    ∴ ，

点拨：对于无理数系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过应注意二次根式的化简。

例3 用配方法解方程

解： 移项得：

配方得：

       

解这个方程

          

          

∴ ，

点拨: 配方法是解一元二次方程的重要方法,是导出求根公式的关键.熟练掌握完全平方式是用配方法解题的基础. 对于二次项系数是1的方程, 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可完成配方.

例4 用配方法解方程：

  

分析 因为二次项系数不为1, 所以要先将方程各项同时除以二次项系数后,再配方.

解：方程两边同除以3

得

方程两边同时加上一次项系数一半的平方

   



∴

∴

∴

点拨: “方程两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方”这一步,是配方法的关键, “将二次项系数化为1” 是进行这一关键步骤的重要前提.

例1 用公式法解方程

解：移项得：

∵

∴

∴

∴ ，

例5 用公式法解方程

移项得：

∵

∴

∴

∴

点拨：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般式；（2）确定出 ， ， 的值；（3）求出 的值（或代数式）；（4）若 ，则可用求根公式求出方程的解，这样可以减少许多不必要的计算. 另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用, 其中也包括不完全的一元二次方程.