旧版几何《5.5相似三角形的性质》扩展资料

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有关线段问题的证明

　　1．证明线段成比例的方法

　　（1）平行线分线段成比例定理（如果没有平行线，可作辅助平行线得到比例线段）

　　（2）利用相似三角形的性质定理．

　　①相似三角形的对应边成比例．

　　②相似三角形对应中线、对应高与对应角平分线之比等于相似比．

　　③相似三角形周长之比等于相似比．

　　④相似三角形面积的比等于相似比的平方．

　　（3）利用相似三角形，依据待证的比例式，找出相应的两个三角形，证明它们相似．

　　（4）不能证得比例线段时，应考虑通过第三个比（中间比）作媒介进行论证．

　　（5）利用面积关系证明线段成比例．

　　（6）用比例定义证明两组线段比相等．

　　（7）平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．

　　（8）三角形内（外）角平分线性质定理三角形内角（或外角）的平分线内分（或外分）对边所成的两线段和两邻边成比例．

　　2．证明线段成等积式的方法

　　把等积式化为比例式，找出相应的两个三角形，再证明它们相似．

　　3．证明线段相等的方法

　　除了前两章中证明的方法外，另补充如下方法（借助于比例线段）

　　（1）若 ，且 （或 ，或 ），则 （或 ，或 ）．

　　（2）若 ，则

　　（3）若 ，则

　　4．证明角相等的方法

　　除前面所述之外，利用相似三角形对应角相等来证明两角相等．

　　5．证明两直线平行的方法

　　利用平行线分线段成比例定理推论的逆定理，把线段的比例关系转化成平行关系，利用这条定理可以证明三角形内两条线段平行．

　　6．与相似形有关的辅助线的作法

　　在相似三角形里，主要是掌握根据线段的比例式作平行线为辅助线的方法这种平行辅助线不仅可以获得成比例线段而且还可以得到所需的相似三角形．

　　

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直线型中辅助线的添加方法

　　初中几何图形中大体分为两类，三角形，四边形，多边形……统称为直线型，而圆属于另一类特殊的图形．现在将直线型几何图形中常用的辅助线添加方法系统讲解一下．

　　直线型中辅助线的添加方法：

　　1．已知条件中有线段的中点．

　　（1）对于三角形一边中点的问题，可过这个中点作另一边的平行线，制造三角形的中位线，以便利用三角形中位线定理，转移一些边或角的关系．

　　（2）对于三角形两边或三边的中点问题，可作出三角形的中位线，以利用三角形的中位线定理以及相应的基本图形（四个全等的三角形以及三个平行四边形），有时则需要作出三角形两边或三边的中线以便利用三角形重心定理，将边转化成线段的问题．

　　（3）对于两个或两个以上中点，但它们所在的线段不在同一个三角形中的问题，则应设法制造相应的三角形，这类问题又可以分为两种：

　　A．当中点所在的线段有公共端点时，可连接这两条线段另外的端点，以制造三角形，然后利用三角形中位线定理．

　　B．当中点所在的线段无公共端点时，可以寻找与两条线段有公共端点的第三条线段，并且取其中点，作出相应的中位线．

　　2．涉及三角形的中线，角平分线，边的垂线或高线的问题．

　　（1）有关三角形中线问题，可以把中线延长一倍或延长1/3，从而构造全等三角形，转移一些边或角的位置．

　　（2）有关三角形的角平分线或边的垂线问题，可以从轴对称的观点，把图形沿角平分线或垂线翻转180度得到全等三角形，这时可以很容易的添加出相应的辅助线．

　　（3）有关三角形的高线的问题，常作出辅助圆，这是一种比较难以想到的辅助线．今后将会详细介绍的．

　　3．以知条件中有多边形（包括三角形）的两边相等或两角相等．

　　在这种情况下，可以考虑把图形旋转一定的角度，得到全等三角形，这时也可以容易地添加相应的辅助线．

　　4．已知条件中有梯形．

　　（1）平移梯形的一条腰，即从梯形的一个顶点做一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形，从而简化图形，以便解题．

　　（2）平移梯形的一条对角线，即过梯形底的一端作对角线的平行线，以借助于所得到的平行四边形研究梯形．

　　（3）从同一底的两个端点作另一底的垂线，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形．

　　（4）延长两腰交于一点，得到两个三角形．

　　5．证明比例线段或线段比的和差以及线段积的和差问题．

　　（1）作出辅助平行线．

　　（2）选一个辅助角等于已知角

　　通过（1）（2）来选相似三角形．

　　6．有关三角形和多边形的面积问题．

　　通常可作三角形的底或高为辅助线，以便利用等底等高的两个三角形的面积相等；对多边形，通常利用割补法来将其变为三角形．

　　好啦，初中几何直线型图形中的辅助线添加方法总结就告罄了~希望大家喜欢~：）