第五章二次型
1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1）；
2）；
3）；
4）；
5）；
6）；
7）。
解1）已知，
先作非退化线性替换
（1）
则
，
再作非退化线性替换
（2）
则原二次型的标准形为
，
最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为
（3）
于是相应的替换矩阵为
，
且有
。
2）已知，
由配方法可得
，
于是可令
，
则原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
相应的替换矩阵为
，
且有
。
（3）已知，
由配方法可得
，
于是可令
，
则原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
相应的替换矩阵为
，
且有
。
（4）已知，
先作非退化线性替换
，
则
，
再作非退化线性替换
，
则
，
再令
，
则原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
相应的替换矩阵为
，
且有
。
（5）已知，
先作非退化线性替换
，
则
，
再作非退化线性替换
，
即
，
则原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
相应的替换矩阵为
，
且有
。
（6）已知
，
由配方法可得
，
于是可令
，
则原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
故替换矩阵为
，
且有
。
（7）已知，
由配方法可得
，
于是可令
，
则原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
相应的替换矩阵为
，
且有
。
（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。
解1）已求得二次型
的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
在实数域上，若作非退化线性替换
，
可得二次型的规范形为
。
在复数域上，若作非退化线性替换
，
可得二次型的规范形为
。
2）已求得二次型
的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形
。
3）已求得二次型
的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即
。
在复数域上，若作非退化线性替换
。
可得二次型的规范形为
。
已求得二次型
的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
在实数域上，若作非退化线性替换
，
可得二次型的规范形为
。
（2）在复数域上，若作非退化线性替换
，
可得二次型的规范形为
。
（5）已求得二次型
的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
在实数域上，若作非退化线性替换
，
可得二次型的规范形为
。
在复数域上，若作非退化线性替换
，
可得二次型的规范形为
。
6）已求得二次型
的标准形为
，
且非退化线性替换为
。
（1）在实数域上，若作非退化线性替换
，
可得二次型的规范形为
。
（2）在复数域上，若作非退化线性替换
，
可得二次型的规范形为
。
7）已求得二次型
的标准形为
，
且非退化线性替换为
。
（1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即
。
在复数域上，若作非退化线性替换
，
可得二次型的规范形为
。
2．证明：秩等于的对称矩阵可以表成个秩等于1的对称矩阵之和。
证由题设知且，于是存在可逆矩阵使
，
且为对角阵，又因为均为可逆矩阵，所以有
，
其中
于是
。
因
，
且
。
即都是对称矩阵，故可表成个秩为1的对称矩阵之和。
3．证明：
与
合同，其中是的一个排列。
证题中两个矩阵分别设为，与它们相应的二次型分别为
，
，
作非退化的线性替换
，
则可化成。故与合同。
4．设是一个阶矩阵，证明：
1）是反对称矩阵当且仅当对任一个维向量，有。
2）如果是对称矩阵，且对任一个维向量有，那么。
证1）必要性。因为，即，所以
由于，故
。
充分性。因为，有，即
，
这说明原式是一个多元零多项式，故有
，
即。
2）由于是对称的，且，即
，
这说明为一个多元零多项式，故有
，
，
即。
5．如果把实阶对称矩阵按合同分类，即两个实阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？
解实对称矩阵与合同的充要条件为存在可逆矩阵与使
。
下面考虑对角矩阵的相应二次型的合同分类情况，在中可分为
共计个合同类。但秩又可分别取，故共有
个合同类。
6．证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1。
证必要性。设
，
其中均为实数。
若上式右边的两个一次式系数成比例，即
不失一般性，可设，则可作非退化线性替换
使二次型化为
，
故二次型的秩为1。
若两个一次式系数不成比例，不妨设，则可作非退化线性替换
，
使
。
再令
，
则二次型可化为
，
故二次型的秩为2，且符号差为0。
充分性。1）若的秩为1，则可经非退化线性替换使二次型化为
，
其中为的一次齐次式，即
，
且
。
2）若的秩为2，且符号差为0，则可经非退化线性替换使二次型化为
，
故可表成两个一次齐次式的乘积。
7．判断下列二次型是否正定：
1）；
2）；
3）；
4）。
解1）二次型的矩阵为
，
因为
，
故原二次型为正定二次型。
二次型的矩阵为
，
因为，所以原二次型非正定。
记二次型的矩阵为，其中
，
即
，
由于的任意阶顺序主子式所对应的矩阵与为同类型的对称矩阵，且
，
故原二次型为正定二次型。
记二次型的矩阵为，则的级顺序主子式为
，
故原二次型为正定二次型。
8．取什么值时，下列二次型是正定的：
1）
2）
解1）二次型的矩阵为
，
因为的各阶顺序主子式为
，
，
，
当原二次型为正定时，有
，
解上面不等式组，可得。
2）二次型的矩阵为
，
当的所有顺序主子式都大于零时，即
，
，
，
由原二次型为正定得
，
但此不等式组无解，即不存在值使原二次型为正定。
9．证明：如果是正定矩阵，那么的主子式全大于零。所谓主子式，就是行指标与列指标相同的子式。
证设正定矩阵，作正定二次型，并令
，
则可得新二次型
，
由正定二次型的定义知该二次型是正定的，故的一切级主子式。
10．设是实对称矩阵，证明：当实数充分大之后，是正定矩阵。
证
，
它的级顺序主子式为
当充分大时，为严格主对角占优矩阵的行列式，且，
故，从而是正定的。
11．证明：如果是正定矩阵，那么也是正定矩阵。
证因是正定矩阵，故为正定二次型，作非退化线性替换，又也是对称矩阵，故
，
从而为正定二次型，即证为正定矩阵。
12．设为一个级实对称矩阵，且，证明：必存在实维向量，使
。
证因为，于是，所以，且不是正定矩阵。故必存在非退化线性替换使
，
且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在中，令
则可得一线性方程组
，
由于，故可得唯一组非零解使
，
即证存在，使。
13．如果都是阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。
证因为为正定矩阵，所以为正定二次型，且
，，
因此
，
于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。
14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。
证必要性。采用反证法。若正惯性指数秩，则。即
，
若令
，，
则可得非零解使。这与所给条件
矛盾，故。
充分性。由，知
，
故有，即证二次型半正定。
15．证明：是半正定的。
证
（
）
。
可见：
当不全相等时
。
当时
。
故原二次型是半正定的。
16．设是一实二次型，若有实维向量使
，。
证明：必存在实维向量使。
设的秩为，作非退化线性替换将原二次型化为标准型
，
其中为1或-1。由已知，必存在两个向量使
和，
故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有个1，个-1，
且，即
，
这时与存在三种可能：
，，
下面仅讨论的情形，其他类似可证。
令，，，
则由可求得非零向量使
，
即证。
17．是一个实矩阵，证明：
。
证由于的充分条件是与为同解方程组，故只要证明与同解即可。事实上
，
即证与同解，故
。
注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。
补充题参考解答
用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：
1）；
2）；
3）；
4），其中。
解1）作非退化线性替换
，
即，则原二次型的标准形为
，
且替换矩阵
，
使
，
其中
。
2）若
，，
则
，
于是当为奇数时，作变换
，
则
，
且当时，得非退化替换矩阵为
，
当时，得非退化替换矩阵为
，
故当为奇数时，都有
。
当为偶数时，作非退化线性替换
，
则
，
于是当时，得非退化替换矩阵为
，
于是当时，得非退化替换矩阵为
，
故当为偶数时，都有
。
由配方法可得
，
于是可令
，
则非退化的线性替换为
，
且原二次型的标准形为
，
相应的替换矩阵为
，
又因为
，
所以
。
令
，
则
。
由于
，
则
原式
，
其中所作非退化的线性替换为
，
故非退化的替换矩阵为
。
又
，
所以
。
设实二次型
，
证明：的秩等于矩阵
的秩。
证设，因
，
下面只需证明即可。由于，故存在非退化矩阵使
或，
从而
，
令
，
则
。
由于是正定的，因此它的级顺序主子式，从而的秩为。
即证。
设
。
其中是的一次齐次式，证明：的正惯性指数，负惯性指数。
证设，
的正惯性指数为，秩为，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明。采用反证法。设，考虑线性方程组
，
该方程组含个方程，小于未知量的个数，故它必有非零解，于是
，
上式要成立，必有
，，
这就是说，对于这组非零数，有
，，
这与线性替换的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数，即证。
设
是一对称矩阵，且，证明：存在使，其中表示一个级数与相同的矩阵。
证只要令，则，
注意到
，，
则有
。
即证。
设是反对称矩阵，证明：合同于矩阵
。
证采用归纳法。当时，合同于，结论成立。下面设为非零反对称矩阵。
当时
，
故与合同，结论成立。
假设时结论成立，今考察的情形。这时
，
如果最后一行（列）元素全为零，则由归纳假设，结论已证。若不然，经过行列的同时对换，不妨设，并将最后一行和最后一列都乘以，则可化成
，
再将最后两行两列的其他非零元化成零，则有
，
由归纳假设知
与
合同，从而合同于矩阵
，
再对上面矩阵作行交换和列交换，便知结论对级矩阵也成立，即证。
设是阶实对称矩阵，证明：存在一正实数，使对任一个实维向量都有
。
证因为
，
令，则
。
利用可得
，
其中，即证。
7．主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。
1）设是一对称矩阵，为特殊上三角矩阵，而，证明：与的对应顺序主子式有相同的值；
2）证明：如果对称矩阵的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵使成对角形；
3）利用以上结果证明：如果矩阵的顺序主子式全大于零，则是正定二次型。
证1）采用归纳法。当时，设
，，
则
。
考虑的两个顺序主子式：的一阶顺序主子式为，而二阶顺序主子式为
，
与的各阶顺序主子式相同，故此时结论成立。
归纳假设结论对阶矩阵成立，今考察阶矩阵，将写成分块矩阵
，，
其中为特殊上三角矩阵。于是
。
由归纳假设，的一切阶的顺序主子式，即的顺序主子式与的顺序主子式有相同的值，而的阶顺序主子式就是，由
，
知的阶顺序主子式也与的阶顺序主子式相等，即证。
2）设阶对称矩阵，因，同时对的第一行和第一列进行相同的第三种初等变换，可以化成对称矩阵
，
于是由1）知，从而，再对进行类似的初等变换，使矩阵的第二行和第二列中除外其余都化成零；如此继续下去，经过若干次行列同时进行的第三种初等变换，便可以将化成对角形
。
由于每进行一次行、列的第三种初等变换，相当于右乘一个上三角形阵，左乘一个下三角形阵，而上三角形阵之积仍为上三角形阵，故存在，使，命题得证。
3）由2）知，存在使
。
又由1）知的所有顺序主子式与的所有顺序主子式有相同的值，故
，，
所以。
，
所以
，
因是非退化线性替换，且
，
由于都大于零，故是正定的。
8。证明：1）如果
是正定二次型，那么
是负定二次型；
2）如果是正定矩阵，那么
，
这里是的阶顺序主子式；
3）如果是正定矩阵，那么
。
4）如果是阶实可逆矩阵，那么
。
证1）作变换，即
，
则
。
因为是正定矩阵，所以是负定二次型。
2）为正定矩阵，故对应的阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
是负定二次型。注意到
，
又因，所以
，
当时，有
，
综上有，即证。
3）由2）得
。
4）作非退化的线性替换，则为正定二次型，所以是正定矩阵，且
，
再由3）便得
。
9.证明：实对称矩阵是半正定的充分必要条件是的一切主子式全大于或等于零（所谓阶主子式，是指形为
的级子式，其中）。
证必要性。取的任一个阶主子式相应的矩阵
，
对应的二次型为
，
令，代入，得
，
故存在非退化矩阵使
，
其中。故
。
充分性。设的主子式全大于或等于零，任取的第个顺序主子式相应的矩阵
，
作
，
由行列式性质，得
，
其中是中一切阶主子式的和，由题设，的一切阶主子式，所以。故当时，有
，
即当时，是正定矩阵。假若不是半正定矩阵，则存在一非零向量，使。于是令
，
则
，
这与时为正定矩阵矛盾，故为半正定矩阵。
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