基于三周期极小曲面和等参单元法的骨支架建模方法研究

张壮雅1，赵 珂2，杨晓峰3，段明德1

（1.河南科技大学 机电工程学院，河南 洛阳 471003；2.河南科技大学 第一附属医院 影像科，河南 洛阳 471003；3.河南科技大学 第一附属医院 超声科，河南 洛阳 471003）

摘 要：生物骨支架是治疗骨组织缺损的理想方法，如何构建有利于细胞黏附、繁殖、新陈代谢等的微观孔隙结构是构建生物骨支架亟待解决的问题。基于三周期极小曲面和等参单元法，研究一种适合于生物骨支架的建模方法。基于移动立方体算法，线性差值求解三周期极小曲面近似插值面，并结合拉普拉斯算子，构建三周期极小曲面单元；基于等参单元法，通过形函数坐标变换构建不规则形状孔隙曲面单元；基于模板法，局部网格加密构建不同尺度孔隙单元，并通过与实体轮廓模型布尔运算，构建出含有微观孔结构的生物骨支架实体模型。研究表明，利用三周期性极小曲面和等参单元法所构建的骨支架结构，可以实现对孔隙形状，尺度控制，为骨支架建模提供一种可行性的方法。

关键词：骨支架；微观孔隙；三周期极小曲面；等参单元法；模板法

1 引言

我国是人口大国，人口年龄构成已呈现老龄化趋势，据世界卫生组织统计，2015年我国骨病患者多达1.5亿，因此骨缺损组织的修复及功能重建已是社会发展亟待解决的民生问题，但骨移植所需的骨替代物一直是骨科面临的难题。生物骨支架是一种理想的治疗方法，通过在体外构建具有生物功能的人工骨支架，来修复或替换骨缺损组织，从而使骨组织缺损的患者完全治愈成为可能[1]。

目前，对生物骨支架研究主要集中在骨支架建模，成形工艺及成形设备等方面的研究，而骨支架建模是实现生物骨支架制备的先决条件，如何构建缺损骨组织的宏-微观结构，特别是构建有利于细胞黏附、营养获取、繁殖、新陈代谢等的微观孔隙结构是生物骨支架建模首先解决的瓶颈问题[2]。

文献[3]以球体，圆柱体组合体作为构建微观孔隙的基础孔隙单元，基于形函数法，通过二次曲线拟合变形后的球体截面离散点得到不规则的孔隙单元模型，从而构造骨支架的多孔模型；文献[4]基于分形理论，以椭球体作为构建微观孔隙的基础孔隙单元，采用多约束背包问题模型，利用混合遗传算法构建了含有微观孔结构的骨支架负模型，并与缺损骨支架实体轮廓模型进行布尔差运算，得到了骨支架实体模型。文献[5]以阿基米德多面体及正多面体为基础的孔隙单元，并开发了多面体模型库，以适应特定骨支架微观孔隙要求；文献[6]以六棱柱、四面体、八面体等为基本单元，通过布尔运算组合构建基础孔隙单元，实现了骨支架的自动化组装，提高了骨支架构建效率；从近年来的研究可以看出，目前的骨支架建模方法主要采用CAD建模的方法，通过简单球体、圆柱体、棱柱、多面体等单元组合构成了骨支架内部微观孔隙，目前的研究以取得了不少令人欣喜的成果，为建立包括微观孔隙的骨支架建模提供了强大工具，但在受到单元几何形状的限制，难以构建出复杂微观孔隙结构的仿生骨支架模型。

在自然界中存在的蝴蝶羽翼、象鼻虫、甲壳类动物等的类似三周期极小曲面（Triply Periodic Minimal Surfaces，TPMS）的骨骼结构给了我们很多启示，TPMS是一种在三维空间中三个独立方向均呈周期性的极小曲面，具有几何形状多样，并可构建参数化数学模型对其进行描述的优点，这为精确控制骨支架内部孔隙结构，制造具有复杂功能梯度的多孔骨支架提供了基础，因此为克服骨支架建模过程中，多孔单元几何形状的限制，有学者开始利用TPMS来构建骨组织支架，文献[7]通过K3Dsurf软件生成了G和D两种TPMS孔隙单元，并构建了具有G孔隙单元的骨支架，实验结果表明相比于传统盐浸得到的支架，其渗透率提高了10倍，具有较好的互通性；文献[8]基于距离场和TPMS构建了具有复杂的内部微观孔隙结构和精确的外轮骨支架模型。文献[9]基于TPMS，采用组织支架切层的填充的方法，构建了具有一定孔隙率的内部微孔结构的组织支架。

基于此，结合TPMS和等参单元法，研究一种适合于生物骨支架的建模方法。采用移动立方体方法结合拉普拉斯算子构建三周期极小曲面，基于等参单元法和模板法构建不同形状、尺度的孔隙单元结构，完成含有微观孔隙结构的生物骨支架建模，为生物骨支架建模提供一种可行性的方法。

2 TMPS微单元几何建模

2.1 TMPS的数学描述

TPMS是一种在三维空间中三个独立方向均呈周期性的极小曲面（曲面上任意点的平均曲率为0），TPMS的Weierstrass参数化模型可表示为：

式中：θ—Bonnet角度；

w—一复变量；

R（w）—随不同曲面而变化的函数。

相比参数化模型，近似TPMS表示为：

式中：Ak—幅度因子；λk—周期波长；r—欧式空间的位置矢量；hk—倒数空间中第k个栅格矢量；Pk—相位偏移；C—常量，表1为一些近似TPMS模型。

表1 TPMS模型
Tab.1 The TPMS Models

TPMS TPMS模型P φ（r）=cos（X）+cos（Y）+cos（Z）=0 D φ（r）=cos（X）cos（Y）cos（Z）-sin（X）sin（Y）sin（Z）=0 G φ（r）=sin（X）cos（Y）+sin（Z）cos（X）+sin（Y）cos（Z）=0 I-WP φ（r）=2［cos（X）cos（Y）+cos（Y）cos（Z）+cos（Z）cos（X）］-［cos（2X）+cos（2Y）+cos（2Z）］=0 I2-Y**φ（r）=-2［sin（2X）cos（Y）sin（Z）+sin（X）sin（2Y）cos（Z）+cos（X）sin（Y）sin（2Z）+cos（2X）cos（2Y）+cos（2Y）cos（2Z）+cos（2X）cos（2Z）］F-RD φ（r）=4cos（X）cos（Y）cos（Z）-［cos（2X）cos（2Y）+cos（2X）cos（2Z）+cos（2Y）cos（2Z）］=0

2.2 TMPS单元建模

TPMS单元建模采用移动立方体（Marching Cubes，MC）方法，利用等值面上各点等值的性质，通过求解TPMS曲面近似插值面，构建TPMS曲面，建立过程如下：

（1）在单位立方空间内TPMS等值曲面将其分割为两个不同的空间相 Phase1 和 Phase2，分别代表 φ（r）和 φ（r）的两个空间区域，如图1所示。

（2）将单位空间体素化，并将每个体素的8个顶点带入式（1）求解，并判断求解值 φ（r）是否满足 TPMS 标准值 φ（r）s=C。（1）若某一体素上 8个顶点所有求解值 φ（r）gt;φ（r）s或 φ（r）lt;φ（r）s，则表明该体素不在等值面上；

图1 TPMS微单元表征空间
Fig.1 The Micro Element Representation Space of TPMS

（2）若体素上一棱边上有两点Pi（xi，yi，zi）和Pj（xj，yj，zj）分别位于TPMS等值面两边，即（φ（ri）C）（φ（rj）C）lt;0，则点Pi和Pj之间必与等值面有交点，设交点为P0（x0，y0，z0），根据线性插值理论可得：

（3）连接所求解的每个体素点形成多边形网格曲面，用拉普拉斯算子[10]调整网格顶点，平滑多边形网格曲面，而逼近TMPS曲面。

式中：vi—第i个网格顶点；

vj—网格顶点vi一阶邻域中的点；

N

（i）—网格顶点vi一阶邻域点集；

n—网格顶点vi一阶邻域点的个数；

Δvi—网格顶点vi与其一阶邻域所有顶点中心间的偏差。

调整后的网格顶点坐标通过式（5）计算。

式中：v′i—调整后的网格顶点坐标；

λ—控制平滑速度的权重值，在0到1间取值。

通过上述步骤，所建立的表1中的TPMS曲面单元，如图2所示。

图2 TPMS单元
Fig.2 TPMS Elements

3 微观孔隙单元建模

3.1 基于等参变换的微观孔隙单元构造方法

骨支架建模实质是在模型内部填充一系列形状不规则三维孔隙单元，因此为满足对孔隙单元的形状控制，引入等参数单元法对孔隙单元进行建模，等参单元法是通过形函数坐标变换，将形状不规则的单元转变成形状规则的单元，8节点和20节点等参单元，如图3所示。

图3 等参单元
Fig.3 Isoparametric Element

形函数Ni可由拉格朗日插值法得到，8节点型函数如下。

式中：ξ，η，ζ—局部标系下单元内部点坐标；

ξi，ηi，ζi—整体坐标系下单元节点坐标。

式中：xi，yi，zi—第 i个节点在整体坐标系中的坐标 x，y，z为某任意点在整体坐标系中的坐标。以8节点等参单元为例，P surface和I-WP surface映射后得到的不规则形状孔隙单元，如图4所示。

图4 等参单元映射关系
Fig.4 Mapping Relationship in the Iso-Parametric Method

通过对映射后的不规则空隙单元曲面进行布尔并运算，便可以获得骨组织工程支架的孔隙单元，如图5所示。

图5 孔隙单元
Fig.5 The Pore Unit

整个组织工程支架模型为：

式中：Ai—第i个孔隙单元—整个组织工程支架模型。

3.2 孔隙单元尺寸控制

骨组织工程支架的孔隙尺寸对种子细胞的成骨结果起着重要作用，而且不同的骨组织生长对支架孔隙尺寸的求也不同，因此为实现对不同孔隙单元尺寸的控制，采用文献[11]提出的加密模板，如图6所示。对骨组织工程支架不同区域进行六面体网格加密。以P surface，全加密模板和点加密模板为例，加密结果如图7所示。

图6 加密模板
Fig.6 Templates of Mesh Refinement

图7 P Surface加密结果
Fig.7 The Result of P Surface Refinement

4 实例验证

为说明基于三周期极小曲面和等参单元法的骨支架建模方法的有效性，利用二次开发工具Open/Grip语言开发基于UG环境的孔隙生成程序，并以受力性能较好的棱台及圆柱支架为例，进行孔隙建模。首先采用六面体单元对棱台及圆柱支架（图8（a）、图 9（a））进行网格剖分，剖分后的网格模型，如图 8（b）、图 9（b）所示。为满足不同的骨组织生长对支架孔隙尺寸的要求，采用全加密模板对指定区域进行六面体网格加密，如图8（c）、图9（c）所示。采用移动立方体算法结合拉普拉斯算子调整网格顶点，构建三周期极小曲面单元，并基于等参单元法对剖分后的不规则六面体单元进行TPMS孔隙单元曲面建模，将形状规则的TPMS单元曲面转变成形状不规则的孔隙单元曲面，如图8（e）、图9（e）所示。依次运算，得到棱台及圆柱支架的所有TPMS孔隙单元曲面，如图 8（f）、图 8（g）、图 9（f）、图 9（g）所示。最后利用棱台及圆柱支架实体模型与TPMS孔隙模型进行布尔差运算，获得支架结构的实体模型，如图 8（h）、图 8（i）、图 9（h）、图 9（i）所示。建模过程，如图8，图9所示。

图8 棱台支架建模过程
Fig.8 Procedure for Modeling the Prismoid Scaffold

图9 圆柱支架建模过程
Fig.9 Procedure for Modeling the Cylinder Scaffold

5 结论

（1）利用TPMS曲面上各点等值的性质，通过MC方法结合拉普拉斯算子构建了TPMS平滑多边形网格曲面；（2）为适应骨支架建模过程中形状不规则空隙结构构建，基于等参单元法，通过型函数映射得到了形状不规则孔隙单元的TPMS，实现了对孔隙形状结构的控制；基于网格加密模板，通过局部网格加密，构建出不同尺度孔隙单元，实现了对骨组织工程支架不同区域孔隙尺寸和数量的控制，构建出具有梯度结构的多孔支架；

（3）实例验证表明，利用TPMS和等参单元法来设计人工骨支架结构，可以实现对孔隙尺寸，形状和数量的控制，从而为人体骨的仿生制造提供了一种可行性的方法。

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Reseachon Bone Scaffold Modeling Method Basedon Triply Periodic Minimaland Isoperimetric Element Method

ZHANG Zhuang-ya1，ZHAO Ke2，YANG Xiao-feng3，DUAN Ming-de1
（1.School of mechatronics Engineering，He’nan University of Science and technology，He’nan Luoyang 471003，China；2.Department of image，The 1st Affiliated Hospital of He’nan University of Science and Technology，He’nan Luoyang 471003，China；3.Department of ultrasonography，The 1st Affiliated Hospital of He’nan University of Science and Technology，He’nan Luoyang 471003，China）

Abstract：Bone scaffold is an ideal method to treat bone defect，but how to construct the micro pore structure of the bone scaffold which is beneficial to cell adhesion，reproduction and metabolism is the urgent problem to be solved.Based on the triply periodic minimalsurfaces and isoperimetric element method，a new bone modeling method is studied.Firstly，the moving cube algorithm is used to construct the approximate interpolation surface，and the vertices of interpolation surface are adjusted by the laplace operator，sothatthesmooththreeperiodicminimalsurfaceelementcanbeobtained；Secondly，Basedontheisoperimetricelement method，theirregularporeunitofthreeperiodicsmallsurfaceisconstructedthoughcoordinatetransformationbytheshapefunction.Then，refinedthespecificareaofbonescaffoldthoughthepatternmodule’smethodtoconstructthedifferentscalesporeunits.Based onthis，thethreeperiodicsmallsurfacemodelofbonescaffoldwasestablished，andthesolidmodelofbonescaffoldwithmicrohole was constructed by boolean operation.The study shows that the structure of bone scaffold can be realized by using three periodic minimalsurfacesandtheequalparameterelementmethod，whichcanprovideafeasiblemethodforthemodelingofbonescaffold.

Key Words：Bone Scaffold；Micro-Pore；Triply Periodic Minimal Surfaces；Isoperimetric Element Method；The Patttern Module’s Method

中图分类号：TH16

文献标识码：A

文章编号：1001-3997（2017）11-0234-04

来稿日期：2017-05-20

基金项目：河南省重点科技攻关项目（152102210281）；河南省高等学校重点科研项目（16A460017）

作者简介：张壮雅，（1981-），男，山东枣庄人，博士研究生，讲师，主要研究方向：快速模具及生物增材制造技术研究