太原市实验中学高三文数周练（4）2018.1.3姓名一．选择题1．已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．
A∩B={x|x＜}B．A∩B=?C．A∪B={x|x＜}D．AUB=R2．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1
+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）3．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑
色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．4．函
数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．5．设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||
=||C．∥D．||＞||6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，
直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何
体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π8．（2017?新课标
Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15B．﹣9C．1D．99．（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=l
n（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）10．记Sn为等差
数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（）A．1B．2C．4D．811．已知直三棱柱ABC
﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D
．12.（2017?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a
=2，c=，则C=（）A．B．C．D．填空题13．已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=．14．曲线y
=x2+在点（1，2）处的切线方程为．15．等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则=．16．已知三棱锥S
﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9
，则球O的表面积为．三．解答题17．（12分）（2017?新课标1）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6
．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．18．（12分）（2017?新课标1）如
图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB
=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．19．（12分）（2017?新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣
ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面P
AD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．（12分）（2017?新课标1）已知函数f（x）=ex（ex﹣
a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．21．（12分）（2017?新课标Ⅱ）在直角坐标
系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点
P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，
求△OAB面积的最大值．22．（10分）（2017?新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：（1）（a+b）（a5+b
5）≥4；（2）a+b≤2．答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．1．【解答】解：∵集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}={x|x＜}，∴A∩B={x|x＜}，故A正确，B错误
；A∪B={x||x＜2}，故C，D错误；故选：A【点评】本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题．2．【分析】
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．【解答】解：A．i（1+i）2=i?2i=﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）=﹣1+
i，不是纯虚数．C．（1+i）2=2i为纯虚数．D．i（1+i）=i﹣1不是纯虚数．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯
虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即
可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P
==，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．4．（2017?新课标Ⅱ）
函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可．【解答】
解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．故选：C．【点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题．5．（2017?
新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=||C．∥D．||＞||【分析】由已知得，从而=0，由此得到．【
解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，∴，解得=0，∴．故选：A．【点评】本题考查两个向量的关系的判断，是基础题，解题时要认真
审题，注意向量的模的性质的合理运用．6．（2017?新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在
棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不
满足题意，从而可得答案．【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，
结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选：
A．【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．7．【分析】由
三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆
柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π?32×10﹣?π?32×6=63π，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力
与计算能力，属于中档题．8.【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．【解答】解：x、y满足约束
条件的可行域如图：z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z=2x+y的最小值是：﹣15．
故选：A．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．9.【分析】由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（
4，+∞），令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得
：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8为减函数；x∈（
4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8为增函数；y=lnt为增函数，故函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），
故选：D．【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档．10.C11.【解答
】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线
所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，
由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中
，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．
【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC
1=90°，∴cos∠BC1D==．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中
档题．12．【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+c
osAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAc
osC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵0＜A＜π，∴A
=，由正弦定理可得=，∴sinC=，∵a=2，c=，∴sinC===，∵a＞c，∴C=，故选：B．【点评】本题考查了诱导公式和两角
和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，
再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+与
垂直，∴（）?=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真
审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．14．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即
可．【解答】解：曲线y=x2+，可得y′=2x﹣，切线的斜率为：k=2﹣1=1．切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0．故
答案为：x﹣y+1=0．【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．15．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项
和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=1
0，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，Sn=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查等差数
列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．16．【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积．
【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥
S﹣ABC的体积为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得，解得r=3．球O的表面积为：4πr2
=36π．故答案为：36π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～21题为必选题，每个试题考生都必
须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．【解答】解：（1）设等比数列{an}首项为a1，公
比为q，则a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，则a1==，a2==，由a1+a2=2，+=2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=
﹣2，则a1=﹣2，an=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，∴{an}的通项公式an=（﹣2）n；（2）由（1）可知：Sn===
﹣（2+（﹣2）n+1），则Sn+1=﹣（2+（﹣2）n+2），Sn+2=﹣（2+（﹣2）n+3），由Sn+1+Sn+2=﹣（2+
（﹣2）n+2）﹣（2+（﹣2）n+3）=﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×+（﹣2）n+1]，=﹣[4+2（﹣2）n
+1]=2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]，=2Sn，即Sn+1+Sn+2=2Sn，∴Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．18．【
解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥PA，CD⊥PD，又AB∥CD，∴AB⊥PD，∵P
A∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，∵AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．解：（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点
O，连结PO，∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，∴PO⊥底面ABCD，且AD==，PO=，∵四棱
锥P﹣ABCD的体积为，∴VP﹣ABCD=====，解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=，∴PB=PC
==2，∴该四棱锥的侧面积：S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC=+++==6+2．19.【分析】（1）利用直线
与平面平行的判定定理证明即可．（2）利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可．【解答】（1）证明：四棱锥P﹣A
BCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴直线BC∥平面PAD；（2）解：四棱
锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，则AB=
BC=x，CD=，O是AD的中点，连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，则OE=，PO=，PE==，△PCD面积为2，可得：
=2，即：，解得x=2，PE=2．则VP﹣ABCD=×（BC+AD）×AB×PO==4．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理
的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21．（12分）（2017?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ex（ex﹣
a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数
的单调性即可判断，（2）根据（1）的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围．【解答】解：（1）f（x）=ex（ex﹣a）﹣a
2x=e2x﹣exa﹣a2x，∴f′（x）=2e2x﹣aex﹣a2=（2ex+a）（ex﹣a），①当a=0时，f′（x）＞0恒成立
，∴f（x）在R上单调递增，②当a＞0时，2ex+a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f
（x）单调递减，当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，③当a＜0时，ex﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（
﹣），当x＜ln（﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞ln（﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，综上所述
，当a=0时，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，当a＜0时，
f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递减，在（ln（﹣），+∞）上单调递增，（2）①当a=0时，f（x）=e2x＞0恒成立，②当a
＞0时，由（1）可得f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，③当a＜0时，由（1）可得f（x）
min=f（ln（﹣））=﹣a2ln（﹣）≥0，∴ln（﹣）≤，∴﹣2≤a＜0，综上所述a的取值范围为[﹣2，1]【点评】本题考查
了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算能力和化归能力，属于中档题21.【分析】（1）设P（x，y），
利用相似得出M点坐标，根据|OM|?|OP|=16列方程化简即可；（2）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出
最大面积．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，∵|OM||OP|=1
6，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+
y2=4x，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|?（2+）=2+．【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．22.【分析】（1）由柯西不等式即可证明，（2）由a3+b3=2转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）2，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明．【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2=4，当且仅当=，即a=b=1时取等号，（2）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题 |
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