K形图在河南中考压轴题中的运用
原创 2017-12-29 陈铁成
一、K形图的由来
（1）K形图之全等
如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°.直线DE经过点A，分别过点B，C作BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.
求证：△ABD≌△CAE.
简析：利用同角的余角相等可证，∠BAD=∠ACE，利用AAS可证两三角形全等.进而得到AD=CE，BD=AE.
（2）K形图之相似
如图，点A是直线DE上一点，∠BAC=90°，分别过点B，C作BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.
求证：△ABD∽△CAE
简析：利用同角的余角相等，可得∠BAD=∠ACE，再根据两角相等的两个三角形相似可证△ABD∽△CAE.进而得到AD:CE=BD:AE=AB:AC.
二、K形图的应用
K形图在几何题中运用广泛，在解决与直角三角形相关的问题时经常会见到K形图的身影。特别是在求点的坐标的相关题目中往往起到拨云见日的作用，给人以豁然开朗之感.
例1、如图，在直角坐标系中，点A（-2,3），点B（1,1）.将点A绕点B沿顺时针方向旋转90°，得到点C，求点C的坐标.
分析：根据点的坐标的定义，要求一个点的坐标可经过该点向两坐标轴作垂线，但本题中若经过点C向两坐标轴作垂线，无法将题中已知条件很好的衔接起来.
解：如图，过点B作X轴的平行线，再分别经过点A，C作该平行线的垂线，垂足分别为点D，E.所以点D（-2,1）.AD=yA-yD=3-1=2，BD=xB-xD=3.
易证△ADB≌△BCE，则BE=AD=2，CE=BD=3.所以，E（3,1），C（3,4）.
反思：1、这种构造方法引起结构看起来像一个字母K，所以有老师将其命名为K形图。名称只是外表，掌握其实质才是根本。
2、在直角坐标系中求点的坐标，经常利用K形图将题中已知联系起来.其实K形图在这里起到了斜转直的作用，有老师戏称之为“改斜归正”，形象至极.
3、在直角坐标系中，平行于X轴的直线上的所有点的纵坐标相等；平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相等.同时如果两点所连线段平行于x轴，那么这两点纵坐标相等，且这两点间的距离等于右边点的横坐标减去左边点的横坐标.同样的，如果两点所连线段平行于y轴，那么这两点的横坐标相等，且这两点间的距离等于上面点的纵坐标减去下面点的纵坐标.
例2、如图，点A（1,1），点B（2,3），∠BAC=90°，且tan∠ABC=3,求点C的坐标.
解：如图过点A作x轴的平行线，分别过点B，C作该平行线的垂线，垂足分别为点E，D.则点E（2,1）.所以AE=1,BE=2.
易证△ACD∽△BAE.所以AD:BE=CD:AE=AC:BA=3.求得，AD=3BE=6,CD=3AE=3.所以D（-5,1），C（-5,4）.
三、河南中考压轴题中的K形图.
解：（1）运用待定系数法求得，y=-1/4x^2-3/4x+5/2.
（2）设直线y=3/4x-3/2和y轴交于点M.则M（0,3/2），又点A（2,0）
所以OA=2，OM=3/2.利用勾股定理可得AM=5/2.所以OM:OA:AM=3：4：5.
易证△AOM∽△PED.所以DE:PE:PD=3：4：5.
设点P（x，-1/4x^2-3/4x+5/2），则点D（x，3/4x-3/2）.
PD=yP-yD=(-1/4x^2-3/4x+5/2)-(3/4x-3/2)
=-1/4x^2-3/2x+4
所以l=12/5PD=12/5（-1/4x^2-3/2x+4）
=-3/5x^2-18/5x+48/5=-3/5（x+3）^2+15
即当x=-3时，周长l有最大值，最大值为15.
（3）
反思：对于本题的第三问我们还可以提出这样的问题：点P是y轴右侧的抛物线上一个动点，是否存在点P，使得tan∠PCD=1/3.若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（结合前面解题过程，请大家自行完成）
前面以河南省2011年和2013年的压轴题为例，初步接触了K形图的应用。下面将继续探索K形图在河南中考压轴题中的作用，同时结合倍半角公式，看看2014和2016年的河南省中考压轴题还有哪些解法。
四、倍半角
五、K形图及倍半角公式的运用
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