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EXCEL财务函数IRR、XIRR、MIRR

 好飞1117 2018-01-09

IRR(Internal Rate of Return)称为内部报酬率,其应用非常广大,是学习财务管理不可或缺的工具。Excel也提供了一个相对函数IRR 来呼应。本篇也包含IRR相关的其他两个函数XIRR以及MIRR,让读者可以清楚知道每个函数的应用时机。

现金流量(Cash Flow)

阅读本篇之前读者必须先了解现金流量,才会知道IRR的意义。对现金流量还不了解的读者,怪老子网站的『现金流量』篇有详细介绍。

IRR函数

一个投资案会产生一序列的现金流量,IRR简单说:就是由这一序列的现金流量中,反推一个投资案的内部报酬率。

如何反推呢,所用的方法是将每笔现金流量以利率rate折现,然后令所有现金流量的净现值(NPV)等于零。若C0、C1、C2、C3...Cn分别代表为期初到n期的现金流量,正值代表现金流入,负值代表现金流出。

0 = C0 C1/(1 rate )1 C2/(1 rate )2 C3/(1 rate )3.... Cn/(1 rate )n

找出符合这方程式的rate,就称为内部报酬率。问题是这方程式无法直接解出rate,必须靠电脑程式去找。这个内部报酬率又和银行所提供的利率是一样的意思。

IRR函数的参数定义如下:

IRR的参数有两个,一个是Values也就是『一序列』现金流量;另一个就是猜个IRR最可能的落点。那麽Value的值又该如何输入?有两种方式可输入一序列的现金流量:

使用阵列:例如=IRR({-100, 7, 107}),每一个数字代表一期的净现金流量。

储存格的范围:例如=IRR(B2:B4),范围中每一储存格代表一期

那麽

=IRR({-100, 7, 107}) 或

=IRR(B2:B4)

都会得到同样答案:7%

使用者定义期间长短

IRR的参数并没有绝对日期,只有『一期』的观念。每一期可以是一年、一个月或一天,随著使用者自行定义。如果每一格是代表一个『月』的现金流量,那麽传回的报酬率就是『月报酬率』;如果每一格是代表一个『年』的现金流量,那麽传回的报酬率就是『年报酬率』。

例如{-100, 7, 107}阵列有3个数值,叙述著第0期(期初)拿出100元,第1期拿回7元,第2期拿回107元。第一个数值代表0期,也是期初的意思。至于每一期是多久,使用者自己清楚,IRR并不需要知道,因为IRR传回的是『一期的利率』。当然如果使用月报酬率,要转换成年报酬率就得乘上12了。

一年为一期

例如期初拿出100元存银行,1年后拿到利息7元,2年后拿到本利和107元,那麽现金流量是{-100, 7, 107}。很清楚的这现金流量的每期间隔是『一年』,所以=IRR({-100, 7, 107}) = 7%传回的就是『年报酬率』。

一个月为一期

换个高利贷公司的例子来看,期初借出100元,1个月后拿到利息7元,2个月拿到本利和107元,整个现金流量还是{-100, 7, 107}喔,不一样的是每期间隔是『一个月』。那麽IRR传回的 7%就是『月报酬率』,年报酬率必须再乘上12,得到84%的年化报酬率。所以每一期是多久只有使用者知道,对IRR而言只是传回『每期』的报酬率。

guess-猜测报酬率可能的落点

guess真是个有趣的参数,IRR函数的任务不就是要解出报酬率的值吗,怎会要我们自己猜测报酬率的落点呢?这不是很奇怪吗,Excel计算功能那麽强,难道IRR函数无法直接解出来?没错IRR是无法解的。以{-100, -102, -104, -106, 450}这现金流量为例,等于得求出下列方程式中rate的解:

0 = -100 -102/(1 rate)1 -104/(1 rate)2 -106/(1 rate)3 450/(1 rate)4

这就难了!因为有4次方。假若现金流量的期数更多,那就更复杂了,而且使用者会输入几期还不知道哩。还好虽然无法直接求解,Excel使用代入逼近法,先假设一个可能的rate(10%),然后代入上面式子看看是否吻合,如果不是就变动rate的值,然后慢慢逼近、反覆计算,直到误差小于 0.00001% 为止。如果真正的解和预设值差距过远,运算超过20次还是无法求得答案,IRR 函数会传回错误值 #NUM!。这时使用者就必须使用较接近的 guess 值,然后再试一次。

所以guess参数只是IRR函数开始寻找答案的起始点而已,跟找到的答案是无关。下面三个IRR公式,同样的现金流量,但是guess参数都不同,结果答案却都一样是3.60%。

=IRR({-100, -102, -104, -106, 450})

=IRR({-100, -102, -104, -106, 450}, 1% )

=IRR({-100, -102, -104, -106, 450}, 2% )

guess是选项参数

guess参数可以省略不输入,这时Excel会使用预设值10%。通常这是一年为一期报酬率都落在这附近,如果要计算月报酬率最好输入1%,依此类推。

XIRR函数

若要利用IRR函数来计算报酬率,现金流量必须是以『一期』为单位,也就是输入的现金流量必须有期数的观念。但是常常有些应用,现金流量并非定期式的。例如一个投资案,现金流量如下表:

可以看到现金流量发生日期是不定期的,并非以一期为单位。XIRR就是专为这类型的现金流量求报酬率,其他观念和IRR函数没有差别。XIRR传回来的报酬率已经是年报酬率。

和IRR函数的差别是多了一个日期(dates)参数,此日期参数(dates)必须跟现金流量(Value)成对。例如上面的例子可以如下图的方式来完成。储存格B7的公式 =XIRR(A2:A5,B2:B5),算出来这投资案相当于每年24.56%的报酬率。

MIRR是Modified Internal Rate of Return的缩写,意思是改良式的IRR。IRR到底有何缺点,需要去修正呢?主要的原因是IRR并未考虑期间领回现金再投资问题!IRR的现金流量里可分为正值及负值两大类,正值部分属于投资期中投资者拿回去的现金,这些期中拿回去的现金该如何运用,会影响报酬率的。负值部分属于投资期中额外再投入的资金,这些资金的取得也有融资利率方面要考虑。

MIRR使用的方式是将期间所有的现金流入,全部以『再投资利率』计算终值FV。期间所有的现金流出,全部以『融资利率』计算现值PV。那麽MIRR的报酬率:

= (FV/PV)1/n - 1

再投资报酬率

以例子来解说会较为清楚,一个投资案的现金流量如下:{-10000, 500, 500, 10500}这现金流量一期为一年,期初拿出10,000元,第1年底拿回500元,第2年底也拿回500元,第3年底拿回10500元。将现金流量代入IRR求内部报酬率:

=IRR({-10000, 500, 500, 10500}) = 5%

从这投资案的经营者来说,期初拿到10,000元,然后每年支付5%报酬500元,到了第3年底还本10000元,这投资案确实是每年发放5%的报酬没错。可是若从投资者角度来看,假若每年底拿到的500元只会放定存2%,也就是投资者期中拿回来的金额,到期末只有2%的报酬率,那麽投资者到第3年底时,实际拿到的总金额为:

= 500*(1 2% ) 500*(1 2% )2 10500 ( 以Excel 表示 =500*(1 2%) 500*(1 2%)^2 10500 )

= 11,530

期初拿出10,000元,3年后拿回11,530,这样相当于年化报酬率:

= (11530/10000)1/3-1 (Excel 表示 =(11530/10000)^(1/3)-1 )

= 4.86%

这可解读为拿出10,000元,以复利4.86%成长,3年后会拿回11,530元。

MIRR可以不用那麽麻烦,只需输入再投资报酬率2%,便可轻易得到实际报酬率:

= MIRR(({-10000, 500, 500, 10500}), 0, 2% )

= 4.86%

投资者期间内所拿回的现金(正值),再投资的报酬率,会影响整体投资的实际报酬率。同一个例子,假若另一位投资者的再投资报酬率为4%,那麽实际报酬率修正为:

= MIRR(({-10000, 500, 500, 10500}), 0, 4% )

= 4.95%

如果投资者的再投资报酬率为5%,实际报酬率等于:

= MIRR(({-10000, 500, 500, 10500}), 0, 5% )

= 5.00%

可以看到当再投资报酬率为5%时,MIRR = IRR = 5%。这也同时说明了,IRR内部报酬率是假设再投资报酬率等于内部报酬率。

融资利率

如果有第0期以外的现金投入(负现金流量),这些资金是在未来的期数才会使用。只要在期初准备这些资金的现值。就足以支付未来的这些金额。所以将所有的现金流出均以『融资利率』折现(PV),代表未来所有的投资额,都相当于期初投资PV的金额。

举个例子:一个储蓄险,头两年、年初缴保费5万元。第二年底开始,往后四年均领回30,000元,若再投资利率为3%,融资利率为5%,求MIRR为多少?

= MIRR({-50000, -50000, 30000, 30000, 30000, 30000}, 5%, 3%)

= 5.15%

这是利率MIRR函数直接套入公式算出来的,为了解其中道理,将这些正负现金流量分开来,以分解动作求取终值及现值,再算投资报酬率。这样读者就很清楚MIRR是如何计算的。

总共有两笔现金流出(负值部份),但是只有第2期的资金流出需要折现,所以用『融资利率』5%,总现值(PV):

=50000 50000/(1 5%)

=97,619

这意思是说:若融资利率为5%,只需要在期初准备97,619,就足以支付前两期各5万所需的现金支出。

总共有4笔现金流入(正值部份),以『再投资利率』为3%,求取所有现金流入的终值(FV)

= 30000 30000*(1 3%) 30000*(1 3%)^2 30000*(1 3%)^3

=125,508

那麽期初投入97,619,期末拿回125,508,期间为5年,这样的年化投资报酬率:

= (125508/97619)^(1/5)-1

= 5.15%

可以看到和直接用MIRR函数所计算出来的报酬率一模一样都是5.15%。

『融资利率』是微软的说明所使用的名词,我认为较为适当的应该是『资金报酬率』(finance_rate),也就是资金存放标的之报酬率。

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