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题目： 方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车，从M地出发沿一条公路匀速的前往N地。设乙的行使时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示。 请你帮助方成同学解决以下问题： 1、分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式； 2、当20＜y＜30时，求t的取值范围； 3、分别求出甲，乙形式的路程S（甲），S（乙）与时间t的函数表达式，并在图2中画出图象； 分析： 又是一道几何与代数结合的应用题，有很多信息通过图像透露。兵来将挡，我们仍然坚持跟着问题找条件。 1、题目1要求直线的解析式。我们只要知道两点的坐标，或者一点的坐标以及直线的斜率，都可以求得直线的解析式。本题中，我们已知B（1.5，0），C（7/3，100/3），D（4，0），所以直线BC和直线CD的解析式易得。 2、题目问题很简洁，但实际上题目2的求解是整个题目求解的关键：y的解析式是什么？根据题意，y是甲、乙两人间的距离，即，
这样，若要求解y的解析式，需要知道甲、乙的运动路程的解析式。根据题意，
所以，不难判断甲的运动速度大于乙：当甲乙相遇后，甲将超过乙，直至到达N地。那么甲乙之间的位置变化将依次经历以下几个阶段：
注意，上述分析虽然正确，但不是严谨的数学论证。我们只是从物理运动的角度去分析，事实上，目前我们仍然未知S（甲）和S（乙）的表达式，所以无法严格证明y在每个阶段所对应的线段。这段论述只是帮助去理清楚思路，下面按照严谨的数学推导去分析、求解本题。 甲、乙两人均为匀速运动，所以，在他们到达N之前，路程=速度×耗时。甲出发的时间为1h，所以甲的运动耗时为乙的运动耗时t减去1，即t-1。记甲的速度为a，乙的速度为b，则
乙耗时4h到达N，所以MN=4b。那么甲到达N时，由a×（t－1）=4b，可知此时t=1+4b/a。下面我们求解y的表达式。
题目中告诉我们，t=7/3时，y=100/3，由此可以得到a=60，b=20。这样，我们得到y的表达式，如下：
这样，根据20＜y＜30可得t的范围。 3、上面的分析中，我们已经得到S（甲）和S（乙）的解析式，如下
4、题目问，丙和甲何时相遇？记这个时间点为t，则此时S（甲）+S（丙）=80；同样，当乙和丙相遇时，S（甲）+S（丙）=80。所以，如果能知道S（丙）的表达式，这个问题可得解。当t=4/3时，S（乙）=80/3，所以此时S（丙）=160/3。由于丙为匀速，从而不难得到丙的速度=（160/3）/（4/3）=40，进一步可得S（丙）=40t。于是，甲丙相遇时间可知。 解题： 1、已知B（1.5，0），C（7/3，100/3），D（4，0），所以直线BC的解析式为y=40t-60，直线CD的解析式为y=-20t+80； 2、记S（甲）、S（乙）为甲、乙的路程，记a、b为甲、乙的运动速度。由于甲乙都是匀速运动，根据题意，S（甲）=a（t－1），S（乙）=bt，MN=4b，显然S（甲）与S（乙）都小于等于4b。t=1.5时，甲乙相遇，所以1.5b=0.5a，即a=3b。 由于甲的速度大于乙，并且甲、乙均是匀速运动，所以，有如下关系：
注意到题目图示，t=7/3时，y=100/3。所以2b×7/3－3b=100/3，可得b=20，a=60。由此可知y的解析式如下：
据此，求解20＜y＜30，可得2＜t＜9/4，或5/2＜t＜3； 3、根据第二问的解答，可知甲的路程
以及乙的路程
图像如下，为了区别，用双线条表示S（甲） 20×4/3+c×4/3=80， 从而可知c=40。记甲、丙与T丙时相遇，则此时甲的路程和丙的路程和为80，即有 60×（T丙-1）+40×T丙=80， 从而可知T丙=7/5，即t=7/5 h时，甲、丙相遇。 回顾： 1、本题的推演其实并不需要奇思巧构。与苏州卷相类似，作为一道与物理运动相结合的应用题，正确、快速的把物理运动用数学语言描述出来，是第一项考研； 2、本文用了繁复但更严谨的数学推导，并没有依赖题目所给图像。但是，图像可以帮助我们验证推导的正确性，以及更好的理解题目所述物理运动过程。 3、本题中的难点反而在于如何从严谨的数学逻辑上，通顺的表述出解题过程。 |
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方成思考后发现了图1中的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5h后与乙相遇。
4、丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一条公路，匀速的前往M地。若丙经过4h/3与乙相遇。问，丙出发多少时间与甲相遇。
4、记丙的速度为c，则当乙、丙相遇时，乙的路程与丙的路程和为80，即有
