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题目： △ABC位于直角坐标系中，A（0，2），B（-3，0），C（1，0）。P，Q，R分别是边BC，边AB和边AC上的动点，与边的端点不重合。请直接写出△PQR周长的最小值。 分析： 解答此题，如果你不知道施瓦尔兹三角形的研究结论，那么先要感谢命题组让你“直接写出最小值”。这等于已经告诉你最小值是存在的，否则这将是一个完全开放、没有方向的问题，难度会加大。 即便如此，你无法蒙出一个答案。你只能跟着问题找条件，一步步的去推导。 问题1：P，Q，R都是动点，△PQR周长如何表达？ 解答问题，一般情况下总要有一个设定为“不动”的值，然后以其为参照系。比如，我们建立坐标系，设定原点和方向，让其他点有了参照系；比如，研究物理运动时，我们建立参照系，让“相对运动变成绝对运动”。 这道题目的第1个问题就是，3个点都是动点，如果分别标记坐标，至少将出现3个未知数。也许，3个未知数的关系式仍然可以求解最值，但想想就够头疼了。 先固定P的位置，仅让Q，R运动，看此时△PQR周长最小值是什么。然后再让P也运动，最终找到符合题意的△PQR。 问题2：记P（p，0），那么△PQR周长最小值是什么？ 利用“三角形中，任意两边和大于第三边”求解。找到PQ，PR的等长线段，让P，Q，R共线，从而找到△PQR的最小值。作点P'和P''，使得P'与P关于AB对称，P''与P关于AC对称。连接P P'，P P'' 和P' P''，P' P''与AB、AC分别交于Q'，R'。如下图。 问题3：证明△P Q'R'的周长即为△PQR周长的最小值。 如图，（证明略）可知
∵ P'Q+QR≥P'R，P'R+ P''R≥P' P'' ∴ P'Q+ P''R+QR≥P' P'' ∴ △PQR周长≥△P Q'R'周长 问题4：此时△P Q'R'的周长=？ △P Q'R'周长= P' P''，所以我们需要知道点P'和 P''的坐标，再通过距离公式（或勾股定理）求解。 如图，（求解略）可知直线AB解析式：y=2x /3+2，直线AC解析式：y=－2x+2。 （以下求解也可以通过三角形相似得到） ∵ PP'⊥AB，PP''⊥AC ∴ 直线PP'解析式：y=－3x /2+ 3p/2，直线PP''解析式：y=x/2－p/2 ∵ E，F分别为直线AB与直线PP'交点，直线AC与直线PP''交点 ∴ E坐标（（9p-12）/13，（6p+18）/13），F坐标（（p+4）/5，（－2p+2）/5） ∵ EF为△P P' P''中位线 ∴ 2EF= P' P'' 即，我们不需要求解点P'和 P''的坐标（也可以继续求解，从而直接计算P' P''），通过计算EF长度即可。根据距离公式，有
问题5：当P运动时，P' P''=（16/65）×√（65p^2+260）的最小值是多少？ （求解略）当p=0时，65p^2+260有最小值260，P' P''有最小值32/√65。即 △PQR周长的最小值为32/√65 问题6：别忘记验证解的合理性 此时，P坐标（0，0），显然位于线段BC上，且与端点不重合。不难验证此时直线P' P''与直线AB的交点Q在线段AB上，且与端点不重合；直线P' P''与直线AC的交点R在线段AC上，且与端点不重合。即，此解符合题意。 解题： 略 回顾： 1、如果不知道施瓦尔兹三角形的结论，那么2015年沈阳中考数学压轴题的最后1小题是一道“难题”。 2、做完此题，我觉得自己的这个解答过程太复杂。但百思不得简洁、易懂的解法。求助百度才知道，这个问题是著名的“施瓦尔兹三角形问题”，不过没有找到该问题的推导过程，更谈不上找到简洁、易懂的答案。 3、针对原始的施瓦尔兹三角形问题，明天给大家分享我的解析过程。在初等数学范围内，有简洁答案的，望不吝赐教，多多交流。 部分草稿如下 |
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