2015沈阳中考数学，涉及的施瓦尔兹三角形问题的初等解析

前言：

本文所涉知识全部在初中学力范围内，任何具备同等学力者均可无障碍阅读本文，或自行研究该问题。这恰说明，思维习惯、思维工具具有更深远的意义。

命题：

任意锐角三角形，在三条边上任取3个与这个锐角三角形顶点不重合的动点，连接这3个动点组成1个新三角形。这个新三角形的周长是否存在最小值？如存在，最小值是多少？此时3个动点的位置在哪里？

解析：

记这个锐角三角形为△ABC，BC上动点为P（与B，C不重合）， AB上动点为Q（与A，B不重合）， AC上动点为R（与A，C不重合）。

如图，以BC所在直线为x轴，过A作BC垂线为y轴，建立直角坐标系。记A（0，a），B（b，0），C（c，0），记△PQR周长为L。

步骤：

一、固定点P（p，0），研究此时L是否存在包含参数p的最小值；

二、如步骤一存在L最小值，记为L（p），研究p变化时L（p）是否存在最小值；

三、如步骤二存在L（p）最小值，记为Min（L）。证明Min（L）即为△PQR周长的最小值；

四、如步骤三完成，解析此时Min（L）的值与P，Q，R的位置。

步骤一

辅助线：如图，令P'与P关于AB对称，P''与P关于AC对称。连接PP'，PP''，P'P''，记Q'，R'为P'P''与AB，AC的交点，连接PQ'，PR'。（思考1：这些辅助线能够合理存在吗？）

求解过程中可能用到的一些工具（思考2：这两条直线的表达式合理吗？）：

• 直线AB解析式：y=-ax/b+a

• 直线AC解析式：y=-ax/c+a

我们的目标是证明△PQ'R'的周长即为L（p）。

辅助线：连接P'Q，P'R，P''R。

由于P'与P关于AB对称，P''与P关于AC对称，不难证明：

• △PQ'R'的周长=P'Q'+Q'R'+R'P''=P'P''

• △PQR的周长=P'Q+QR+RP''

在三角形中，两边和不小于第三边，所以P'Q+QR≥P'R，P'R+ RP''≥P'P''，即有

• △PQR的周长≥P'P''=△PQ'R'的周长

注意到，Q，R为AB，AC上任意选取的点，所以当P固定时，△PQR的周长最小值存在，即为△PQ'R'的周长，记为L（p）；

步骤二

（过程略）可以求得P'和P''坐标，如下

计算L（p）= P'P''，利用距离公式或勾股定理可得

当p=0时，L（p）有最小值为

步骤三

记步骤二中Min（L）所对应的P（0，0）为A'，Q为C'，R为B'，下面我们证明任意△PQR的周长都不小于于△A' B' C'的周长，即Min（L）。

分为两种情况：

1、P与A'重合：此时P（0，0）。由于Min（L）=L（0），而根据L（p）的定义方法，△PQR的周长≥L（0）；

2、P与A'不重合：此时△PQR的周长≥L（p），对任意符合题意的p，均有L（p）≥L（0）= Min（L）。

综上，总有△PQR的周长≥Min（L）。

步骤四

通过步骤二，我们已知

以及P的位置（0，0），即P为边BC上高的垂足。

求解Q，R的位置有两种方式：

1、根据对称性，如果我们以AC为x轴，C到AB的垂线为y轴建立坐标系，并采用先固定Q的方式求解L最小值，那么可以得到Q坐标（0，0），即边AB上高的垂足；同理，R为边AC上高的垂足。

2、通过计算P在（0，0）位置时，P'P''与AB的交点Q'，R'的坐标，同样可以证明当△PQR的周长最小时，P，Q，R分别是顶点A，C，B到对边高的垂足。■解毕

思考：

1、P'，P''一定是存在的，P'P''与直线AB、AC的交点也是一定存在的。但是P'P''与线段AB、AC的交点不一定存在。如下（∠A=95°为钝角）

2、若直线AB或AC平行于y轴，则关于直线AB或AC的解析式无法如题述表达。

那么，在△ABC为锐角三角形作为限制条件时，上述两个思考问题是否一定可以解决呢？大家可以自行尝试一下。

引申：

1、当△ABC不是锐角三角形时，△PQR的周长最小值是否存在？

2、在搜索引擎中，可以找到施瓦尔兹三角形的纯几何求解方法。当△ABC是锐角三角形时，这种方法可以成立；但是，当∠A=90°时，三条高的交点O与点A重合，边AB，AC上高的垂足Q，R也与A重合。此时，无法利用几何性质进行后续推导。如图所示。