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图解数学|第二讲:任意五角星内角和都是180°?怎么证明?

 当以读书通世事 2018-01-25

没听说过 AMC

AMC 的全称是American Mathematics Competitions,美国数学竞赛。有三种等级: AMC 8 / AMC 10 / AMC 12,分别对应不超过 8/10/12 年级的学生参加,美国及其他地区均可参加。

需要详细了解的您可以看:AMC竞赛,美国大学申请的神助攻

下面进入正文部分:


01

“人伸开双臂的长度基本等于人的身高”,像这样一句话,在数学里就叫做命题(statements)了,有好奇者想检验这句话的真伪,“论证这句话是对的”的过程就叫做命题的证明。在真实的英文数学考题中,会有“Show that ...” “Prove that ...”之类的题目。

数学中的证明基本可以分为两种:

一、基于定理的证明。

这种证明的基本逻辑是用具体案例套“大前提”,“大前提”一般是已知的定理。比如咱们上期讲到的“三角形内角和是180°”这个定理,如果在某个题目中,一个复杂的图形中存在三角形DEF,那么DEF就是具体案例,立即能推出 ∠D+∠E+∠F=180°。

二、基于计算的证明。

比如想证明下图中最后一步的结论,∠4=∠1+∠2,可以由三角形内角和是 180° 计算 ∠1+∠2=180°-∠3,由平角性质计算 ∠4=180°-∠3。两个式子算出同样的结果,说明两个式子一样,即 ∠4=∠1+∠2,这就是平面几何中的一个重要性质:

三角形一个外角等于不相邻的两个内角和

图解数学|第二讲:任意五角星内角和都是180°?怎么证明?


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在我讲平面几何过程中,听到很多来自学生的疑惑:那些奇奇怪怪的辅助线 (guideline)谁能想到?想不到这条辅助线这题是不是就做不了了?

事实上,不做辅助线也会有其他方法做,只不过做辅助线会大大简化证明过程,所以希望大家在平时学习中,积累一些常见的辅助线的作法,辅助线不是说谁能在考场瞬间想到的,考场的成功都来自于平时的厚积薄发。

比如,已知下面右图中∠1,∠2,∠3各多少度,求∠4的大小。可做一条辅助线,把图形拆分成两个三角形,连用两次上面所说的重要性质“三角形一个外角等于不相邻的两个内角和”。可得出结论:

凹四边形凹角等于其余三个角之和

图解数学|第二讲:任意五角星内角和都是180°?怎么证明?

这就是辅助线的作用:把不熟悉的东西转化成熟悉的辅助线的本质是连接已知条件,用虚线搭建桥梁。


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我记得我小时候,特别羡慕班里会徒手画五角星(pentagram)的人,我学了一下怎么一笔画如下图的五角星,然而画的很歪。后来学了几何知识才知道,无论画的五角星是正的还是歪的,它五个角之和永远都是180°!

想想怎么证明这个有趣的性质吧,可以参考下图。

图解数学|第二讲:任意五角星内角和都是180°?怎么证明?

值得一提的是:我们对于较为复杂的性质的证明,往往不用最基础的结论了(如:三角形一个外角等于不相邻的两个内角和),而用稍微进阶一点的(如:凹四边形凹角等于其余三个角之和),这样就能大跨步的迈向结论了。


04

从三角形到四边形 (quadrilateral),可以联想四边形就是两个三角形拼合而成,进而想到这条辅助线(所以有时候辅助线并不是件难事),得知凸四边形内角和为360°。

图解数学|第二讲:任意五角星内角和都是180°?怎么证明?


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由三角形的内角和,我们证明出了四边形的内角和,能不能再计算证明五边形、六边形、七边形……内角和呢?这在数学里就叫做推广 (generalization)了,把一些具体的问题一般化,证明其在更广阔的领域是对的,这很有用,过程也很难,数学家的精力主要消耗于此。

命题的推广在真正考题中往往作为某道题的最后一问,需要结合前面的具体结论来证明。有些学生觉得很难,其实,这是有套路的,推广的常见思路是看看证明特殊问题用到什么方法,现在还能不能继续用?

比如我们举个简单的例子,证明 n 边形内角和为(n-2)×180°,我们可以把图形拆成(n-2)个小三角形,如下图,即可证得。

图解数学|第二讲:任意五角星内角和都是180°?怎么证明?

每个顶点的外角等于180°减去内角,那么外角和是多少度呢?大家可以自行试试可否算出和证明。

学到这里,让我们来看一下今天涉及哪些知识点:

图解数学|第二讲:任意五角星内角和都是180°?怎么证明?

好,今天你学习了《图解数学》的第二讲,了解了任意五角星的内角和都是180°,也学会了它的证明。

恭喜你,又解锁了图解数学的一个新章节。

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