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闲谈先秦乐、律、历的关系，和使用“八十一日分”的真正原因 秦伊人（2013.8） 一、音律和律历的关系 《太初历》最初使用81日分的原因是什么？《汉书·律历志》说：“其法以律起历，曰：'律容一龠，积八十一寸，则一日之分也。与长相终。律长九寸，百七十一分而终复。三复而得甲子。’”这是因为当时已经发现了十九年七闰的规律，才有所谓“百七十一分而终复”（171/19＝9）。“三复而得甲子”是说经过三个19年就回到“甲子元”，如：前161甲子元，前142甲辰元，前123甲申元，前104年又是甲子元。冬至日逢甲子朔旦是称为“甲子元”，这是历算的基准，19×4＝76年一个轮回。但是用81日分还是另有原因，因为19年包含235个朔望月，4×235＝940，朔望月＝29＋(499/940)＝29.530851，这940是“四分术”的日分，也是十九年七闰的必然结果，西汉不用940日分而用81日分，朔望月＝29＋(43/81)＝29.5308642，这会降低历法精度，可是西汉《太初历》是先用了81日分的，后来东汉才改用940日分。为什么知道“十九年七闰”后不用“四分术”的940日分，而是用“三统术”的81日分？ 成熟的律算技术来自对乐律的计算，乐律的计算因为与度量有关，所以乐律的计量名称如“宫”和“黄钟”等也被使用到其他的律算中。汉武帝时期对历法计算要求“其法以律起历”，是为了使用成熟的律算技术，因为律算技术是在乐律应用上发展起来的，而追求整数比是“乐律”和“律历”的共性。乐律有简单的整数比音乐才和谐动听，而律历有年月日三者的整数比，才能精确推算出历法。乐律和谐在于五音的整数比，以宫音81起律；律历精确在于年月日的整数比，以日分81起算。将成熟的乐律技术应用于历法，正所谓《史记·律书》说的：“建律运历造日度”，和《汉书·律历志》说的：“其法以律起历”。 最早乐律以“宫”定调其律长是有多重选择的，不一定宫调必选81，如管仲选宫调21，对于“宫商角征羽”这些音调的确定，在司马迁认为是以“宫”来定低调，宫调最低，羽调最高；而早在管仲时期却是用“宫”定中音调，并规定管乐的征调最低，角调最高；相反弦乐的征调最高，角调最低。如：在《管子·地员第五十八》中规定：
而在《史記·律書》中规定： （先損後益：低宮音） 律數九九八十一以为宫81 三分去一五十四以為徵54 三分益一七十二以為商72 三分去一四十八以為羽48 三分益一六十四以為角64
二、宫律数八十一的来历 在商鞅时期，有著名的“商鞅方升”流传至今，根据《中国古代度量衡图集》（国家计量总局编辑，文物出版社1984）的记载： 商鞅方升：（战国·秦）上海博物馆藏 内体积：长五寸四（124.774）、宽三寸（69.742）深一寸（23.23）。 铭刻：“十八年，齐率卿大夫重来聘，冬十二月乙酉，大良造鞅，援积十六尊五分尊一为升。” 商鞅方升（图）其中有铭文：“大良造鞅爰积十六尊五分尊之一为升”，故称为“商鞅方升”，其容积为16又1/5（即16.2）立方寸。 从商鞅到王莽，秦汉时期容积基本一致，容积以“81” 为基本单位（16.2/2=8.1），也称为“黄钟律”，这是王莽“同律度量衡”的数字依据，也是八十一日分的理论来源。 商鞅方升的容积为什么是16.2立方寸为一升？10立方寸为一升岂不是更方便？其实这正是商鞅方升设计的巧妙之处，商鞅方升的容积是根据谷和米的比例关系而设计的，因为一商鞅升（16.2立方寸）谷物，经过脱壳加工可以得到约十立方寸纯米。陈梦家在《汉简缀述》中论证了汉代一大升谷物可以得一小升纯米，大小升的比例约为16/10或10/6。 秦汉时期一寸约为23毫米，折算后商鞅方升的理论尺寸如图：（长：5.4寸、约合124.2毫米；宽：3寸、约合69毫米；高：1寸、约合23毫米。） 从商鞅到王莽的秦汉时期，“方寸”被用来作为设计、计算计量器具的基本单位，16.2方寸为一升，一升谷物可得十方寸纯粮。“方寸”用作计量单位，是以长度单位作为设计容量器具的依据，这是从商鞅时期就有的传统。如上图：现藏于中国历史博物馆的始建国铜方斗（新莽），有铭文：“律量斗，方六寸，深四寸五分，积百六十二寸，容十升，始建国元年正月癸酉朔日制”。（6×6×4.5＝162）这个容积是商鞅方升的整十倍，可见王莽时期对商鞅时期的计量法度是完全继承的。这个“积百六十二寸”为何不是容16.2升？而是“容十升”，这就是谷与米的比列，是说“百六十二寸”的谷子可以“容十升”米。这个容积接近10/6的比例，和《破城子汉简》110.14记录“粟一斗得米六升”是一致的。
《汉书·律历志》有：“合龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为斛”。若当初商鞅能设计“方寸为合，十方寸为升，百方寸为斗”的容量体系，则是十分方便的，但是由于容量的设计兼顾了谷物和纯粮的容积换算，所以才出现了“援积十六尊五分尊一为升”（16.2方寸“粟”转换为一升“米”）这样一个奇特的复合型的基本容量单位。
现在可以认识到，所谓的“容如黄钟”只是一种人为解释，如：1970年在陕西咸阳底张湾出土，现藏咸阳市博物馆的始建国铜龠（新莽），柄上刻铭文一行：“律量龠，方寸而圈其外，兆旁九豪，冥百六十二分，深五分，积八百一十分，容如黄钟”。 容积八十一是“容如黄钟”，其来源是“积百六十二”，就是二倍黄钟数，但这个最早出现在商鞅方升里的“百六十二”，只是因为粟与米的比例而特意设定的数据，这与的黄钟律81或宫律81没有直接关系，因为宫律也可以不选81而选其他的数值。 三、用“八十一日分”是为计算简便
1 闰法，十九。 2 章月，二百三十五。 3 统法，一千五百三十九。 （19×81） 4 月法，二千三百九十二。 （81×29.530864）
5 相应地在《后汉书志第三律历下》中，有关推步历使用的计算数据有六条： 1
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3 4 蔀日，二万七千七百五十九。（940×29.530851）（365.25×19×4） 5 蔀月，九百四十。 6 蔀法，七十六。 已知：1、《前汉书》“三统历”系统所使用的推步计算单位是“章”和“统”；
推论：1、在《历术甲子篇》里使用的数据是：“蔀法”（＝76年），和“蔀月”（＝940），
推论：2、在《汉书·律历志》中有“其法以律起历，......法，一月之日二十九日八十一分
中的出现是与《汉书·律历志》的记录相矛盾的。
对于小馀的计算，《太初历》算法是用十位数加减法，《四分历》是用百位数加减法， 显然《太初历》算法比《四分历》的算法更为简易，更为优越，这在以算筹为计算工具的时 代更是如此。并且用《太初历》算法的计算结果规律性很强，这对于验证计算也很有利。
征＝宫＋宫/3＝108；商＝征－征/3＝72； 羽＝商＋商/3＝96； 角＝羽－羽/3＝64。（先益后损） 征＝宫－宫/3＝54； 商＝征＋征/3＝72； 羽＝商－商/3＝48； 角＝羽＋羽/3＝64。（先损后益） 征(108)羽(96)宫(81)商(72)角(64) 宫(81)商(72)角(64)征(054)羽(48)（先损后益，低宫音调） 设：499/940＝A/81＝B/72＝C/64＝D/54＝E/48＝F/108＝G/96 （宫）A＝42.9989取整为43差为0.0011 （商）B＝38.2213取整为38差为0.2213 （角）C＝33.9745取整为34差为0.0255 （征）D＝28.6660取整为29差为0.3340 （羽）E＝25.4809取整为25差为0.4809 （征）F＝57.3319取整为58差为0.6681 （羽）G＝50.9617取整为51差为0.0383
天文观象和历法推算是有区别的，不能说唐都是司马迁的父亲司马谈的天文老师，就说司马迁也必然精通历算；其实在制定《太初历》时，唐都的工作也只是“分天部”，历算工作由邓平和落下闳承担。《吕氏春秋·贵因》云：“夫审天者，察列星而知四时，因也。推历者，视月行而知晦朔，因也。”可见“观星者”是分天部、定四时的，是唐都一派；“视月者”才是推历、算历的人，是邓平一派，无怪乎当时多数参与《太初历》制定的人都说“不能为算”。司马迁对《天官书》很熟悉，这并不表示他对历算也精通。
另外，《史记》经历汉武帝和东汉章帝两次大规模删减，后人有增补《史记》的可能，所以《史记》已经不是司马迁时期的原貌。从《汉书》对《太初历》的描述，《历术甲子篇》与《太初历》是不同两种历法，并且《历术甲子篇》比《太初历》先进，而司马迁时期只有《太初历》经过颁布，所以《历术甲子篇》不应该是司马迁时期的历法。
由于不为人知的原因，《历术甲子篇》进入了《史记》，学者们产生了一些误解，在《〈历术甲子篇〉浅释》中，张汝舟说：“尤可怪者，篇末说：'大馀者，日也。小馀者，月也。’司马迁家学甚深，怎么会有这种谬言迷惑后人，这一妄改，全篇'大馀’、'小馀’便成了一天云雾”。（《二毋室古代天文历法论丛·〈历术甲子篇〉浅释》张汝舟著）；因为张汝舟主观地认为《历术甲子篇》一定是司马迁录入《史記》的，所以他要批后人“妄改”《历术甲子篇》，同时可以看出张汝舟不认为“小馀”和“月”有关系。 在《汉书律历志第一下》有：“推正月朔，......小馀三十八以上，其月大。”在《后汉书志第三律历下》有：“推天正朔日，......小馀四百四十一以上，其月大。”“天正朔日”是指“子正月”朔日，子正月朔日的“小馀”若小，子正月就是小月，反之“小馀”若大，就是大月，所以说：“小馀者，月也。”的说法不是“妄改”《历术甲子篇》的语言。
其实“小馀者，月也。”就是说大小月的排布规律由“小馀”数值的相对大小来决定，这在《前汉书》和《后汉书》中都有叙述，所不同的是对于“小馀”数大小的界定值，《前汉书》所用的是“38”，《后汉书》所用的是“441”。由于：“38/81=0.469；441/940=0.469”，所以上述两书所用的界定值是完全一致的。
从对“日分”数据的使用来看，《前汉书》所用的是“81”，《后汉书》和《历术甲子篇》所用的是“940”；而对“日分”数据的使用是计算能力的标志，可计算能力是随着时代的进步而增加的。所以，在知道“十九年七闰”后，虽然必有“四分历”的940日分，但是局限于当时的能力，对大规模的历法计算，使用算筹计算三位数日分比计算二位数日分更困难，以至于当时官方有“不能为算”的说法，而要调用“民间治历者”，因此当时邓平选择了使用较为方便的81日分。至于后来“三统术”的81日分被冠以“黄钟律”的名称，也只是一种文化解释，499/940非常接近43/81也只是巧合，其实使用81日分和使用940日分的区别只在于计算的方便程度。其实“四分术”与“三统术”的基础都来源于“十九年七闰”，两种历术也能互相转换。
附录： ------------------------------------------------------------------------------------------------ 《史記·历术甲子篇》：“太初元年，岁名焉逢摄提格，月名毕聚，日得甲子，夜半朔旦冬至。” --------（将《历术甲子篇》数字化）----------------------------------------------------------
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