湖南师大附中2017－2018高一期末考数学一、选择题：1．若直线过点(1,)，(2,2＋)则此直线的倾斜角是已知直线l：ax－y－2＝0和直线l(a＋2)x－y＋1＝0若l则a的值为－1若a、b表示直线表示平面下列命题中正确的个数为a⊥α，b∥αa⊥b；②a⊥α；③a∥α在空间直角坐标系中点B是A(1)在xOz坐标平面内的射影为坐标原点则|OB|等于B.C.D.
5．两圆x＋y－1＝0和x＋y－4x＋2y－4＝0的位置关系是内切．相交．外切．外离如图某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形且体积为则该几何体的俯视图可以是
7．已知圆C：x＋y－4x－5＝0则过点P(1)的最短弦所在直线l的方程是＋2y－7＝0．＋y－4＝0C．x－2y－3＝0．－2y＋3＝0直三棱柱ABC—A中若∠BAC＝90°＝AC＝AA则异面直线BA与AC所成的角等于从直线x－y＋3＝0上的点向圆x＋y－4x－4y＋7＝0引切线则切线长的最小值为B.C.D.－1
10．如图等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形下列命题中错误的是恒有DE⊥A′F异面直线A′E与BD不可能垂直恒有平面A′GF⊥平面BCDE动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分答案 二、填空题：如图是水平放置的△OAB的直观图＝3,＝4则△AOB的面积是________．
12．在三棱锥A－BCD中若AB＝3＝4＝5则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为________．
13．如图所示已知矩形ABCD中＝3＝a若PA⊥平面AC在BC边上取点E使PE⊥DE则满足条件的E点有两个时的取值范围是________．三、解答题：(本题满分10分)已知直线l经过点P(－2)，且斜率为－.(Ⅰ)求直线l的方程；(Ⅱ)求与直线l切于点(2)，圆心在直线x＋y－11＝0上的圆的方程．(本题满分12分)已知坐标平面上动点M(x)与两个定点A(26)，B(2，1)的距离之比等于5.(Ⅰ)求动点M的轨迹方程并说明轨迹是什么图形；(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C过点P(－2)的直线l被C所截得的线段的长为8求直线l的方程．(本题满分13分)如图所示是正方形是正方形的中心底面ABCD底面边长为a是PC的中点．
(Ⅰ)求证：PA∥平面BDE；(Ⅱ)平面PAC⊥平面BDE；(Ⅲ)若二面角E－BD－C为30°求四棱锥P－ABCD的体积．一、选择题：中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数三三数之余二五五数之余三问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”问题若正整数N除以正整数m后的余数为n则记为N＝(modm)，例如11＝2()．现将该问题以程序框图的算法给出执行该程序框图则输出的n等于
A．21B．22C．23D．24
18．在四棱锥P－ABCD中面PAB面PAB底面ABCD为梯形＝4＝8＝6＝∠CPB满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是直线的一部分．半圆的一部分圆的一部分．球的一部分答题卡题号 17 18 得分答案 二、填空题：定义在R上的奇函数f(x)当x≥0时(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－________
三、解答题：本大题共3小题共35分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．(本题满分10分)如图在正方体ABCD－A中．(Ⅰ)求证：AC⊥BD；(Ⅱ)是否存在直线与直线AA都相交？若存在请你在图中画出两条满足条件的直线(不必说明画法及理由)；若不存在请说明理由．
21.(本题满分12分)平面直角坐标系中在x轴的上方作半径为1的圆Γ与x轴相切于坐标原点O.平行于x轴的直线l与y轴交点的纵坐标为－1(x，y)是圆Γ外一动点与圆Γ上的点的最小距离比A到l的距离小1.(Ⅰ)求动点A的轨迹方程；(Ⅱ)设l是圆Γ平行于x轴的切线试探究在y轴上是否存在一定点B使得以AB为直径的圆截直线l所得的弦长不变．
22.(本题满分13分)已知函数f(x)＝(x＋1)．(Ⅰ)若f(x)＋f(x－1)＞0成立求x的取值范围；(Ⅱ)若定义在R上奇函数g(x)满足g(x＋2)＝－g(x)且当0≤x≤1时(x)＝f(x)求g(x)在[－3－1]上的解析式并写出g(x)在[－3]上的单调区间(不必证明)；(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的g(x)若关于x的不等式g在R上恒成立求实数t的取值范围．2017－2018学年度高一第一学期期末考试
数学参考答案一、
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D A D B C D C B B【解析】利用斜率公式k＝＝可求倾斜角为60°.【由题知(a＋2)a＋1＝0＋2a＋1＝(a＋1)＝0＝－1.也可以代入检验．【解析】①正确．【解析】点A(1)在xOz坐标平面内的射影为B(1)，
∴|OB|＝＝.【解析】将两圆化成标准方程分别为x＋y＝1(x－2)＋(y＋1)＝9可知圆心距d＝由于23解得a>6.三【解析】(Ⅰ)3x＋4y－14＝0(Ⅱ)(x－5)＋(y－6)＝25【解析】(Ⅰ)由题意得＝5.＝5化简得x＋y－2x－2y－23＝0.即(x－1)＋(y－1)2＝25.∴点M的轨迹方程是(x－1)＋(y－1)＝25轨迹是以(1)为圆心以5为半径的圆．(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时：x＝－2此时所截得的线段的长为2＝8：x＝－2符合题意．当直线l的斜率存在时设l的方程为－3＝k(x＋2)即kx－y＋2k＋3＝0圆心到l的距离d＝由题意得＋4＝5解得k＝.直线l的方程为x－y＋＝0.即5x－12y＋46＝0.综上直线l的方程为＝－2或5x－12y＋46＝0.
16．【解析】(Ⅰ)证明：连接OE如图所示．O、E分别为AC、PC中点面BDE平面BDE平面BDE.(Ⅱ)证明：∵PO⊥平面ABCD在正方形ABCD中又∵PO∩AC＝O平面PAC.又∵BD平面BDE平面PAC⊥平面BDE.(Ⅲ)取OC中点F连接EF.为PC中点为△POC的中位线又∵PO⊥平面ABCD平面ABCD为二面角E－BD－C的平面角∴∠EOF＝30°.在中＝OC＝AC＝a＝OF·＝a＝2EF＝a.－ABCD＝×aa＝a【解析】因为AD⊥平面PAB平面PAB所以AD∥BC且∠DAP＝∠CBP＝90°.又∠APD＝∠CPB＝4＝8可得＝＝＝即得＝＝2在平面PAB内以AB所在直线为x轴中点O为坐标原点建立平面直角坐标系则(－3)、B(3)．设点P(x)，则有＝＝2整理得x＋y＋10x＋9＝0.由于点P不在直线AB上故此轨迹为一个圆但要去掉二个点选【解析】∵当x≥0时(x)＝；即x∈[0)时(x)＝(x＋1)∈(－1]；[1，3]时(x)＝x－2∈[－1]；(3，＋∞)时(x)＝4－x∈(－∞－1)；画出x≥0时f(x)的图象再利用奇函数的对称性画出x＜0时f(x)的图象如图所示；
则直线y＝与y＝f(x)的图象有5个交f(x)－＝0共五个实根最左边两根之和为－6最右边两根之和为6(－1)时－x∈(0)，∴f(－x)＝(－x＋1)又f(－x)＝－f(x)(x)＝－(－x＋1)＝(1－x)－1＝(1－x)中间的log2(1－x)＝即1－x＝2解得x＝1－2所有根的和为1－2
20．【解析】(Ⅰ)证明：如图连结BD.正方体ABCD－A1D1，
∴D1D⊥平面ABCD.平面ABCD四边形ABCD是正方形＝D平面BDD平面BDD(5分)(Ⅱ)存在．答案不唯一作出满足条件的直线一定在平面ACC中且过BD的中点并与直线A相交．下面给出答案中的两种情况
其他答案只要合理就可(10分)
21．【解析】(Ⅰ)设圆Γ的圆心为O显然圆Γ上距A距离最小的点在AO上于是依题意知AO的长度等于A到l的距离．显然A不能在l的下方若不然A到l的距离小于AO的长度故有＝y－(－1)即y＝x(x≠0)．(5分)(Ⅱ)若存在这样B，设其坐标为(0)，以AB为直径的圆的圆心为C过C作l的垂线垂足为D.则C点坐标为于是CD＝＝＝设所截弦长为l则＝－CD＝－于是l＝(12－4t)y＋8t－16(10分)弦长不变即l不随y的变化而变化故12－4t＝0即t＝3.即存在点B(0)，满足以AB为直径的圆截直线l所得的弦长不变．(12分)【解析】(Ⅰ)由f(x)＋f(x－1)＞0得(x＋1)＋x＞0得解得x＞所以x的取值范围是x∈(5分)；(Ⅱ)当－3≤x≤－2时(x)＝－g(x＋2)＝g(－x－2)＝f(－x－2)＝(－x－21)＝(－x－1)当－2＜x≤－1时(x)＝－g(x＋2)＝－f(x＋2)＝－(x＋3)综上可得g(x)＝(x)在[－3－1]和[1]上递减；g(x)在[－1]上递增；(9分)(Ⅲ)因为gg＝－f＝－，
由(Ⅱ)知若g(x)＝－，得x＝－或x＝由函数g(x)的图象可知若g在R上恒成立．设u＝＝－＋当t＋1≥0时＝－＋∈则u∈，则－＋≤解得－1≤t≤20.当t＋1＜0时＝＋∈则u∈，则－＋≥－解得－4≤t＜－1.综上故－4≤t≤20.(13分)
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