小平邦彦：一位数学家的妄想

昵称40046059 2018-02-03

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我是一个综合素养不足、十分单纯的数学家，对于“数学是什么”这个千古难题，我没有什么想法，也不具有讨论它的资格，不过既然我是以研究数学为生，当然心里还是有些感受的。我曾经在《数学的建议》（见本书《数学印象》一文）中记录了相关感受。近来这种感受逐渐升级成了“妄想”，即“数学是森罗万象的根本”。

数学对于自然科学的贡献是超乎想象的，而且在很多情况下，数学家们在自然科学理论被发现之前，就早早地为其准备好了该理论所需的数学知识。其中，黎曼空间对于爱因斯坦广义相对论的作用就是最好的例子。黎曼甚至曾经预言了广义相对论，他说除非通过实际测量，否则无法得知我们居住的空间到底是欧几里得空间，还是拥有曲率的黎曼空间。

相对论是基于爱因斯坦的几何学世界观的天才发现。人们一般认为狭义相对论是爱因斯坦根据迈克耳孙－莫雷的实验结果而发现的，但实际上狭义相对论是独立于实验发现的。甚至广义相对论也源于纯粹的思考实验，爱因斯坦对实验检验完全不感兴趣。令人惊讶的是，至今为止对广义相对论的所有实验检验，都没有出现任何破绽。特别是根据最近的观测结果显示，在广义相对论基本方程式数学解中出现的奇怪“黑洞”也确实存在。

为什么数学会在自然科学中产生重大的作用？当然你只要解释说“数学是记录自然科学的语言”，这个问题就能得到解决。例如黎曼空间对于广义相对论的作用也许也可以说是一种语言（虽然我不太赞同——因为我无法想象语言具有预测黑洞存在的能力）。但是在量子力学中，数学扮演着神秘魔法的角色，很难想象它只是一种语言。

打开量子力学的教材，首先是关于光干涉、电子散射等实验的说明，接着是用波函数（即希尔伯特空间中的矢量）来描述光子、电子等粒子的状态，最后推出态叠加原理。态叠加原理是量子力学中的基本原理，它表达了如果状态A 是状态B 与状态C 的叠加，那么A 的波函数是B 的波函数与C 的波函数的线性组合。

什么是粒子的状态？因为粒子加速器中的电子的状态是由粒子加速器所决定的，所以粒子的状态可以理解成粒子所在的环境。因此在量子力学中，环境是由波函数来表示。如何理解状态A 是状态B 与状态C 的叠加？如果是在教材中出现的光干涉等情况下，那么就比较容易理解。不过在一般情况下，环境A 是环境B 与环境C 的叠加，这就不容易理解了。不确定性原理，例如不可能同时测量一个粒子的位置和它的速度，是通过测量实验对粒子的干扰来加以说明的，最终表明一个粒子无法同时存在于测量位置的装置和测量速度的装置中。换言之，粒子不可能同时存在于两种环境中。瞬间将速度测量装置替换成位置测量装置本身就是不可能完成的任务，所以“一旦测量到按一定速度移动的粒子的位置，其波函数就会缩小到一点”这种不可思议的事情，不过是这种不切实际的设想产生的错觉而已。

我认为两种环境的叠加实在难以理解。另外，波函数的线性组合运算如同数学中的初级运算一样简单，而态叠加原理则主张通过这种简单的数学运算来表示各种复杂奇怪状态的叠加。也就是说，数学运算支配了作为量子力学对象的物理现象。这种数学运算与物理现象的关系，并非通过解析叠加的物理意义并将其用数学公式表现出来，而是在将“波函数的线性组合可以描述状态的叠加”视为公理，然后依据数学运算来确定叠加的意义。正如费曼所言，除了数学之外，没有其他方法能说明态叠加原理了。我们只能认为量子力学基于数学的无穷魔法，因此我认为物理现象的背后存在着固有的数学现象。

也许我们能够看见、触摸的物理现象和无法看见、触摸的数学现象从根本上来说完全不同。但是，数学的对象远比我们用巨型粒子加速器拍摄几万张照片后才发现的奇妙粒子更加真实。尽管照片呈现出了粒子的径迹，不过判断这些径迹究竟是否是粒子的径迹，则是基于粒子理论的公式计算推导出来的结果。如果从推论中删除所有的数学内容，那么也就无从判断照片呈现的现象是否是粒子的径迹。因为物理现象是基于数学存在的。

概率论更不可思议。众所周知，概率论揭露出了惊人的事实，即随机发生的现象也遵从数学法则。而且，我们通常根据现象是否遵循概率法则来判断其是否具有随机性。依据量子理论从微观层面上观察的话，所有的自然现象都具有随机性。因此我认为宇宙万物、森罗万象的根本之处存在固有的数学现象。

物理学家研究的是物理现象，同理可得，数学家则是研究数学现象。那么，理解数学相当于“观察”数学现象。这里所说的“观察”不是指“用眼观看”，而是通过一定感觉所形成的感知。我曾将这种感觉命名为“数感”，虽然很难用言语去描述，不过这是一种明显不同于逻辑推理能力的纯粹的感觉。数感的敏锐性类似于听觉的敏锐性，也就是说基本上与是否聪明无关。人们通常认为数学是一门由缜密逻辑构成的逻辑性学科，不过在我看来，数学是一门需要敏锐感觉的学问。数学的理解需要凭借数感，从感觉上把握数学现象。

给不擅长数学的孩子当家教时，就能明白这种感觉，数感不好的人无法理解数学。对你来说已经显而易见的问题，在不擅长数学的孩子看来怎么也无法理解，因此你会苦于不知如何解释。而且，那个孩子在讨论社会问题时则口若悬河，瞬间让人目瞪口呆。这是因为一般逻辑任何人都能理解，如果将数学归为逻辑，那么任何人都能理解数学，然而众所周知，无法理解数学的初中生或高中生大有人在，语言能力优异、数学能力差劲的学生十分常见。田边·元先生最初就读于数学系，虽然课堂内容听起来有趣易懂，但是进入专题讨论阶段他却感觉云里雾里、不知所云，因此他只好放弃学习数学，转而专攻哲学。

田边·元（1885—1962），日本哲学家，“京都学派”代表人物，研究西方哲学后创立“田边哲学”，1950 年获日本文化勋章。——编者注

田边哲学的逻辑问题中包含了许多超乎我们数学家理解的难题，田边先生能够解决费解的逻辑问题却放弃了数学研究，由此可知，数学在本质上与逻辑不同。我认为，逻辑就像是用于记录数学的语法，数学在本质上与逻辑不同，是一门需要感觉的学科。数学家并没有察觉自己在证明定理时主要是数感发挥了作用，因此会误以为是凭借逻辑完成了证明。如果证明过程确实逻辑缜密的话，按理说完全可以将其替换成不含任何一个文字的逻辑符号，然而这样最终只会得到一串冗长的逻辑符号，因此绝对不可能是依靠逻辑证明了定理。

人类自古以来具有视觉、听觉、嗅觉、味觉、触觉五种基本感觉，即五感。如果我说除五感以外还有数感，也许你会觉得很奇怪。不过当我们静心思考，会发现人类还具有其他各种各样的感觉。对于方向的感觉就是其中一项。正如“路痴”一词所指，我们对于方向感的敏感度确实因人而异。

数学家对于数感并不自知，数感应该是人类进化过程尚未被开发的感觉。约两千年前，人类历史上就已经出现了诸多聪明绝顶的头脑，诸如先哲柏拉图、耶稣、释迦牟尼等人，由此可见，人类的大脑构造其实从一万年前开始基本没有出现太大变化。对于一万年前居住在洞穴、使用石器和棍棒与野兽搏斗的人类来说，能够理解现代数学的数感几乎是无用之物。按照生物自然淘汰的进化论来看，这种无用的感觉按理说不可能会得到发展。因此，人类的数感不发达也是理所当然，若人类进化过程中的，大多数人的数感能与现代数学家的敏锐程度相媲美，这反而会令人感到不可思议。因此，不擅长数学的人特别多，拥有数学家那样敏锐数感的人特别稀少，这都是情理之中的事。

如果人类和电子计算机在算数领域进行较量，人类绝对无优势可言。但在模式识别领域，人类又远优于电子计算机。这也是因为对于一万年前的人类来说，模式识别极其重要，而三位数以上的算数完全无用。据说有一种候鸟只要眺望星空，就能判断飞行的方向。人类一旦没有精密计时器、六分仪和星座简图，就无法判断方位。然而，候鸟凭借着自身对时间、空间的敏锐感觉就能瞬间完成人类不可能完成的任务。只要种族延续需要，鸟类的小脑袋也能完成如此惊人的进化，所以人类大脑进化的可能性是不可估量的。假设一百万年前外星人占领地球，人类沦为奴隶，为了实现复杂的计算，他们从人类中挑选一批心算高手让其重复繁殖，也许在算数领域，人类的脑力就能够凌驾于电子计算机之上了。考虑到构成人类大脑的神经细胞和神经纤维数量，电子计算机的简单回路只能相当于人类大脑的一小部分。

除了数学家以外，再也没有人能了解现代数学的成果了。而且研究领域不同，了解的程度也不尽相同。即使领域相同，数学家也需要花费大量的时间和精力去理解他人的成果。这也是人类的数感未得到发展而导致的结果。我们可以设想以下状况来帮助理解。假设几乎所有人都是色盲，只有极少数人具有未发展的色觉（据说猫是色盲，如果人类在进化过程中稍稍走偏一点，也许也会出现相同的结果）。然后假设这些极少数的人组成一个自称“彩色画家”的集团，专门创作彩色画。当然绝大部分的人看不懂这些画，而且这些彩色画家们所具有的色觉也只能勉强分辨颜色，所以需要付出巨大的努力，比如说这里看起来像是红色，那按逻辑来说旁边可能是蓝色。

我想，我们数学家的现状与上述例子相似。等到将来人类进化，数感变发达时，现在我们费尽心思想要证明的定理也会随之变得一目了然。

不过话说回来，人类在进化的过程中，数感到底能不能变发达？当然目前我们也无从得知人类是会不断进化，还是逐渐走向灭亡，不过纵观萧伯纳《千岁人》中所描绘的公元31920 年的世界，人类的数感已经非常发达了。在未来的世界里，婴儿从蛋壳中出生（好像进化过快了），出生时的体型和智力已经达到现在人类十八岁的程度。四周岁前即成年的四年间，主要的娱乐活动包括舞蹈、音乐、绘画、生命科学实验等。虽说是生命科学，其实主要是合成活人偶（相当于现在我们这样的人类）来玩，不过已经相当厉害了。然后四周岁以后男女都彻底秃头，外表没有明显的区别。除非遭受雷击等意外事故，之后的几百年人生主要都是在思考数学。书中虽然没有明确指出“数学”，但是有这样一个场景：一个快满四周岁的女孩儿对自己的玩伴、一个两岁的男孩儿说：“数字的特性非常奇妙。我对它特别感兴趣。我想逃离没完没了的舞蹈和音乐，一个人坐着静静地思考数字。”（ The properties of numbers are fascinating，just fascinating. I want to get away from our eternal dancing and music, and just sit down by myself and think about numbers.）男孩儿听后一脸失望。由此猜测，想必数学应该就是他们思考的对象。后文中，碰巧路过的老人对孩子们说道：“小朋友们，我们生活的一个美好瞬间足以要了我们自己性命。”（ Infant: one moment of the ecstasy of life as we live it would strike you dead.）虽说他们是思考数学，却并非是绞尽脑汁的思考，而是凭借数感享受数学的乐趣，这就如同我们通过听觉欣赏音乐一样。最后，请原谅我的胡言乱语。