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数学中反直觉的结论大多与无穷有关，19世纪德国数学家康托(Cantor，1845-1918)创立集合论，引入了集合的势(Cardinality)这个概念，为分析无穷提供了强有力的数学工具，并由此得出了一系列与直觉极不相符的结论。例如： 1、奇数的个数和自然数的个数一样多。（可数集的势） 2、自然数的个数和有理数的个数一样多。 3、一个有限线段上包含的点的个数与整个直线包含点的个数一样多。 4、一条直线上点的个数和整个平面上点的个数一样多。 5、一个平面上包含的点的个数和整个空间中包含的点的个数一样多。 Cantor三分集 上述结论和我们的直觉大相径庭，但是都可以利用集合等势的方法来证明，即在两个集合之间寻找一个一一映射，如果能够找到，则说明两个集合包含的元素是一样多的，利用这种方法，数学家们成功的证明了上述结论。 康托(Cantor, 1845-1918) 也正因上述结论是如此地违反直觉，因此在理论刚被提出的时候遭到了大家的一致反对，甚至康托自己的老师克罗内克(Kroneker, 1823-1891)也带头对他进行了毫不留情的攻击，最终竟使得康托精神失常，住进了精神病院。不可否认克罗内克是19世纪德国非常伟大的数学家，在代数数论领域贡献颇丰，并且是近代直觉主义的先驱，但这件事情却沦为数学史上的一桩丑闻。当然，这也从侧面反映出这一理论是多么的“反直觉”。 这个问题很有趣。比这个问题本身更有趣的是，找到这个问题的答案的方法。 有一个论坛，叫做“民科吧”。顾名思义，“民间科学家”吧。 为什么要提到民科呢？很简单：民科为什么是民科？因为民科们“搞研究”凭的是直觉，而不是逻辑和实验。那么，如果有一个结论是反直觉的，民科看到了呢？这不对啊！这跟俺的直觉是反着的啊！这肯定是错的啊！然后就是各种，全世界的数学家都是傻X，众人皆醉我独醒，待我出山，帮中国拿一个诺贝尔数学奖~ “ ” 上述文字摘自民科吧。 对于没有经历过高等数学教育的人来说，微积分是十分反直觉的。其中最关键的部分在于，微积分中的“无穷小”，有时候被当做一个0，有时候又不被当做一个0。然而这个问题早在百年前，微积分公理化的时候就已经解决了，民科们不好好学习，也没办法。 “ ” 以上摘自民科吧 调和级数发散，可以说是一个著名的反直觉结论了。1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...... + 1/n,当n = 无穷大 的时候，这个和是多少？如果不作思考，直觉上往往会觉得，我们加上去的数越来越小了啊，而且小到后面都小得不行了，那肯定是收敛的啊，不可能发散。但是欧拉已经证明了，这个级数是发散的，意思就是说，级数的和是无穷大。越加越小，结果加到头，居然无穷大！证明也很简单： 这其实已经是十分简洁明了的证明了，但是遗憾的是，有数位民科坚定表示，这个反直觉，所以肯定是错的，然后搞出来一大堆乱七八糟漏洞百出的所谓“证明”。 如果你有兴趣，可以去民科吧逛一逛，看看有多少人反对各种结论。一个理论被民科反对，那八成是“反直觉”的。相对论和量子力学反直觉，被民科批评的最多。不过如果你理科知识不够扎实，逛的时候还请记住一句话，“这里人说的话我一个标点都不能信” 然而有什么用呢？幸而人类文明不仰仗这帮不学无术之辈。 答：费马大定理、分球定理、超穷数理论、哥德尔不完备定理、各维度的点可以一一对应、地图定理、圆周率的BBP公式和虚数等等，都是数学中比较反直觉的结论。 以下，意义作解释。 一：费马大定理 我们知道勾股数有无限个，勾三股四弦五，就是最简单的勾股数。由此我们猜想：当次数n大于2时会怎么样？ 费马大定理指出： 这样的形式，当指数n大于2时，不存在整数解。 这简直就是反直觉啊，凭什么n=2时有无数个，大于2却一个都没有！事实是这样的，该定理历经358年才被证明。 利用费马大定理，可以得到一些有趣的证明，比如证明3次根号2为无理数： 这个证明简直就是大炮打蚊子，但却很美妙。 二：分球定理 数学中，有一条极其基本的公理，叫做选择公理，许多数学内容都要基于这条定理才得以成立。 在1924年，数学家斯特·巴拿赫和阿尔弗莱德·塔斯基根据选择公理，得到一个奇怪的推论——分球定理。 该定理指出，一个三维实心球分成有限份，然后可以根据旋转和平移，组成和原来完全相同的两个实心球。没错，每一个和原来的一模一样。 分球定理太违反直觉，但它就是选择公理的严格推论，而且不容置疑的，除非你抛弃选择公理，但数学家会为此付出更大的代价。 三：无穷大也有等级大小 在二十世纪以前，数学家们遇到无穷大都避而让之，认为要么哪里出了问题，要么结果是没有意义的。 直到1895年，康托尔建立超穷数理论，人们才得知无穷大也是有等级的，比如实数个数的无穷，就比整数个数的无穷的等级高。
这也太违反直觉了，我们从来不把无穷大当作数，但是无穷大在超穷数理论中，却存在不同的等级。 四：“可证”和“真”不是等价的 1931年，奥地利数学家哥德尔，提出一条震惊学术界的定理——哥德尔不完备定理。 该定理指出，我们目前的数学系统中，必定存在不能被证明也不能被证伪的定理。该定理一出，就粉碎了数学家几千年的梦想——即建立完善的数学系统，从一些基本的公理出发，推导出一切数学的定理和公式。
可哥德尔不完备定理指出：该系统不存在，因为其中一定存在，我们不能证明也不能证伪的“东西”，也就是数学系统不可能是完备的，至少它的完备性和相容性不能同时得到满足。 五：一维可以和二维甚至更高维度一一对应 按照我们的常识，二维比一维等级高，三维比四维等级高，比如线是一维的，所以线不能一一对应于面积。 但事实并非如此，康托尔证明了一维是可以一一对应高维的，也就是说一条线上的点，可以和一块面积甚至体积的点一一对应，或者说他们包含的点一样多。
说到一一对应，就离不开函数，那么这样从低维到高维的函数存在吗？ 答案是肯定的！ 在1890年，意大利数学家皮亚诺，就发明了一个函数，使得函数在实轴[0,1]上的取值，可以一一对应于单位正方形上的所有点，这条曲线叫做皮亚诺曲线。
这个性质的发现，暗示着人类对维度的主观认识，很可能是存在缺陷的。 六：地图定理 该定理是这样的，比如我们在国内，拿着中国地图，那么在该地图上，一定存在一个点，使得图上的点，和该点所在的真实地理位置精确一致，这么一个点我们绝对能找到。
该定理还可以扩展，说地球上一定存在一个对称的点，在任何时刻，它们的温度和气压一定精确相等，注意，这里说的"一定"并不是概率上的"一定"，而是定理保证的绝对性。 当然，有人会说这个定理无法用于实际。 但利用这个定理，我们知道在一个公园的任意地方，标示一张地图的话，我们一定能在图上找到"当前所在位置"。 七：独立计算圆周率的任何一位 我们计算圆周率的公式有很多，很长一段时间里，我们都认为要计算圆周的1000位，必须把前面999位计算出来。 可是在1995年，数学家就发现了一个神奇的公式，该公式可计算圆周率的任何一位数字，而不需要知道前面的数字。
比如计算第10亿位的数字，我们不需要知道10亿位之前的任何一位，该公式可以直接给出第10亿位的数。该公式简称BBP公式。 八：负数可以开根号 小时候老师告诉我们"负负得正"，可是到了高中，老师又突然把虚数单位“i”扔给我们，告诉我们“i^2=-1”，这简直就是反直觉啊！为何这个数的平方会是负数。
对于虚数“i”也是存在几何意义的。 数学中，反直觉的定理非常多，到底是我们的数学，本来就是违背真实世界的呢？还是我们的常识，本来就存在认知缺陷？不同的人有不同的答案。 不过，我们可以确信的一点是，数学是追求相容的，一套数学系统，只要它在定义范围内相容或者完备，那么这套数学系统，就有它存在的意义，不管是否和我们常识相悖。 |
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