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例1： 在小数5.3817102005上加2个循环点，能得到的循环小数最大的是（ ） 解：此题不难，但回答正确率却不足8成，原因是很多人把循环点点在了数字8和7头上，认为这样的数字才最大。 注意：循环小数分为纯循环小数和混循环小数，但无论是纯循环小数还是混循环小数，一个循环点一定是在最后一个数字上！！ 所以，此题的正确答案应该是在8和最后一个5上面加循环点。 例2： 把1/7化为小数，则小数点后的第100个数字是（ ），小数点后100个数字的和是（ ） 解：此题也不难，但也有些相关知识需要掌握！ 1/7化成小数：1÷7=0.142857 142857 142857……142857循环，循环节为6， 所以：100÷6=16……4，即有16个完整的循环节再加上4个数字，所以小数点后的第100个数字是8； 小数点后100个数字的和=16×（1+4+2+8+5+7）+1+4+2+8=447 此题解完，但其他需要掌握的是1/7这个分数： 1÷7=0.142857 142857…… 2÷7=0.285714 285714…… 3÷7=0.428571 428571…… 4÷7=0.571428 571428…… 5÷7=0.714285 714285…… 6÷7=0.857142 857142…… 发现规律了吗？1/7至6/7，化成小数均是6位一循环，且6个数字都是由142857的不同顺序构成。 此题容易出现字母题，如： ABCDEF× D=EFABCD 例3：将2/13写成一个循环小数，在这个循环小数的小数部分中连续截取一段，使得这一段中的所有数字之和为2003，那么这一段数字中共有（ ）个数字。 解：此题与例2类例，但要多转一个弯。 先算2/13： 2÷13=0.153846 153846…… 所以，153846，这6个数字构成循环节，1+5+3+8+4+6=27，可知一个循环节的和为27，根据题目要求，一段中的所有数字之和为2003，所以： 2003÷27=74……5 这时，需要转一个弯，我们如果从1开始截取循环节的，那么，74组循环节后，接的数字应该是1，这与余数5不符，所以我们考虑74组后接的数字是5，或者连续的几个数字的和是5，这样我们就容易得到，从5开始截取，然后以5结尾，表示如下： 2÷13=0.1{(53846 153846 153846……153846 1)5}3846 153846…… 小括号（）内为74组数，大括号{}内为74组数再加一个5. 所以数字个数为74×6+1=445个。 例4： 试证明：111^111+112^112+113^113能被10整除 此题也不难，考查的是循环的应用。 解：此题要证明和能被10整除，即需要证明这个和的尾数为0即可。 我们知道，1的任何次方，尾数均为1，所以111^111的尾数一定为1； 我们再看2，试验可知： 112^1尾数=2；112^2尾数=4；112^3尾数=8；112^4尾数=6； 112^5尾数=2；112^6尾数=4…… 可以看出，2的次方的尾数是四位一循环，即2、4、8、6、2、4、8、6…… 所以112^112的尾数：112÷4=28，整除，余0，即尾数为6； 同理， 113^1尾数=3；113^2尾数=9；113^3尾数=7；113^4尾数=1； 113^5尾数=3；113^6尾数=9…… 3的次方的尾数是四位一循环，即3、9、7、1、3、9、7、1…… 所以113^113的尾数：113÷4=28……1，余1，即尾数为3； 所以，尾数和=1+6+3=10，即和的尾数为0，此题得证。 学了上面四道例题，是不是觉得循环问题也没什么可怕的？ |
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