微分中值定理在高数中的主要应用(5).(2004年全国Ⅱ简化)若且0＜a＜b＜2a法1：因由中值定理得：当
时证明：(5).(2004年全国Ⅱ简化)若且0＜a＜b＜2a证明：初等数学法2：设用
导数法……可得h(x)有最小值h(a)＝0因b＞a，故h(b)＞h(a)＝0即设用导数法……可得G(x)
在(0,+∞)上↘因b＞a，故G(b)＜G(a)＝0即该类问题、一般的：1.证明f(a)－f(b)与a－b
的大小关系2.证明f(a)、、f(b)的大小关系3.证明f(x1)－f(x2)与g(x1
)－g(x2)的大小关系二、中值定理应用柯西中值定理，比拉格朗日中值定理简捷吧附加作业：1.(2006年四川简
化)已知对任意两个不相等的正数当a≤4时，证明：2.(2016年全国Ⅱ简化)若当x∈(1,+∞)时，f(x)＞0,
求a的取值范围二、中值定理应用附录31中值定理简介一、中值定理简述1.证明f(a)－f(b)与a
－b的大小关系2.证明g(a)、、g(b)的大小关系3.证明f(x1)－f(x2)与g(x
1)－g(x2)的大小关系1.罗尔中值定理2.拉格朗日中值定理3.柯西中值定理拓宽和加深它的目的如下：1.
开拓视野，为一年半以后的高数学习作基：2.为“秒”某些高考题提供工具：书写格式：由XX定理易得……XX定理，肯定没
有错是否扣分？哪得看阅卷老师的心情了……只不过：“合理合法不合时”罢了《选修2—2》的第一章导数及其应用3
.为五年半以后的考研作基：是高数的重要内容微积分基本知识结构框架图Newton-Leibniz公式极限与连续积分
学微分学一、中值定理简述微分中值定理是一系列中值定理的总称1.罗尔中值定理2.拉格朗日中值定理3.柯西中值定理
因为它们有个共同点：在给定的区间中存在着一点ξ函数f(x)在一定条件下使得在此点的函数与导数存在着某种相等关系
(即中值)揭示了，导数的局部性与函数的整体性之间的关系微分中值定理是研究函数的有力工具是微积分学的理论基础可
以说其他中值定理是拉氏定理的特例或推广其中最重要的内容是拉格朗日定理一、中值定理简述1.罗尔中值定理2.拉格朗日
中值定理3.柯西中值定理微分中值定理关联图罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒定理马克劳林公式罗必
塔法则特例f(a)=f(b)推广应用应用x0=0特例n=0特例g(x)=x推推
广广1.罗尔中值定理则在(a,b)内至少存在一点?设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，如果（1）函数f
(x)在[a，b]上连续（3）f(a)=f(b)（2）函数f(x)在(a，b)内可导,使得f??????
严格的数法证明，略……但其几何意义，显然……罗尔中值定理的几何解释bMax0y?1N?2y
=f(x)AB在函数f(x)的图像上至少存在一点在该点处的切线平行于x轴罗尔中值定理的几何解释ba
x0yMNAB在函数f(x)的图像上至少存在一点在该点处的切线平行于两端点的连线?1?2拉格朗日
中值定理的几何解释将其几何意义，转换成符号语言……拉格朗日中值定理的几何解释在函数f(x)的图像上至少存在一点
在该点处的切线平行于两端点的连线2.拉格朗日中值定理则在(a,b)内至少存在一点?使得其严格的数法证明，略
……割线的斜率与切线的斜率，存在着等量关系……设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，如果（1）函数f(x)在[a
，b]上连续（2）函数f(x)在(a，b)内可导{割线的斜率}?{切线的斜率}……则在(a,b)内至少存在一点?
（1）在[a，b]上连续（3）在(a，b)内F??x?≠?（2）在(a，b)内可导使得严格的数法证明，略……
其几何意义，介绍如下……3.柯西中值定理设函数f(x)及F(x)满足柯西定理的几何意义弦的斜率切线
斜率二、中值定理应用一、中值定理简述1.研究函数或导数的性态2.证明恒等式或不等式3.证明有关中值问题的结
论我们，只是简单介绍一下：中值定理在初等数学中的应用：解证不等式利用微积分、解证不等式的常用方法(1)
利用导数定义(2)利用函数的单调性(3)利用函数的极值和最值(4)利用函数的凹凸性(5)利用微分中值定理(6
)利用泰勒公式(7)利用定积分的几何意义特指：拉格朗日中值定理的应用图像两端一线牵化曲为直找切线二线平
行很直观斜率相等定理现1.证明f(a)－f(b)与a－b的大小关系2.证明f(a)、、f(b)
的大小关系3.证明f(x1)－f(x2)与g(x1)－g(x2)的大小关系二、中值定理应用一、中值
定理简述特指：拉格朗日中值定理的应用1.证明f(a)－f(b)与a－b的大小关系二、中值定理应用由拉格
朗日中值定理可得即证一、中值定理简述(1).(2010年辽宁简化)已知证明：当a≤-2时，对任意的法1：由中值定理
得：即证在R+上恒成立即证，当x＞0时,|g(a)|≥4在(－∞，－2]上恒成立故令易得当x＞0
时，g(a)在(－∞，－2]上↗即：当x＞0时,|g(a)|≥4在(－∞，－2]上恒成立(1).(2010年辽宁简化)已知
证明：当a≤-2时，对任意的即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1令g(x)=f(x)+4x故有－
[]≥4x1－4x2即证g(x)在(0,+∞)上↘……难点：双绝对值+双参…………因
f(x)在(0,+∞)上↘法2：初等证法不妨设x1≥x2＞0(2).(2007年全国I简化)已知法1：原命题
等价于在R+上恒成立当x＞0时，都有,求a的取值范围故a≤2因
由中值定理得：在R+上恒成立而(2).(2007年全国I简化)已
知法2：原命题等价于在R+上恒成立当x＞0时，都有,求a的取值范围由罗比塔法则得
……端点效应法与中值定理法比较：①均运用了高数知识，均属超纲……②罗比塔法则的后续工作量大……
(2).(2007年全国I简化)已知初等数学法3：设当x＞0时，都有,求a的取值范围即当x＞
0时,g(x)≥0恒成立ⅰ:当a≤2时,……ⅱ:当a＞2时，……该法的“坑”如下：①分类讨论的标准“a
2”，从何而来？②第二类，解方程的工作量较大……“幕后玩家”还是高数知识嘛！(3).(2008年全国Ⅱ
简化)设函数若对?x＞0都有f(x)≤ax,求a的取值范围法1：等价于在R+上恒成立而由中值定理得：在
R+上恒成立而令则故(3).(2008年全国Ⅱ简化)设函数若对?x＞0都有f(x)≤ax
,求a的取值范围法2：等价于在R+上恒成立由洛必塔法则知x→0时，故有必要条件，下证充分性即当
且x＞0时h(x)＝f(x)－ax≤0成立……端点效应法与中值定理法比较：①均运用了高数知识，均
属超纲……②罗比塔法则的后续工作量大……(3).(2008年全国Ⅱ简化)设函数若对?x＞0都有f(x)≤ax
,求a的取值范围初等数学法3：等价于h(x)＝f(x)－ax≤0在R+上恒成立即有h(x)max≤0ⅰ:当
a≤0时,……ⅱ:当0＜a＜时，……ⅲ:当a≥时，……该法的“坑”如下：①分类讨论的标准“a0，
”，从何而来？②第二类，解方程的工作量较大……(4).(2017年全国Ⅱ简化)已知当x＞
0时，都有,求a的取值范围法1：等价于a≥在R+上恒成立而
＝由中值定理得：在R+上恒成立而而＜0在R+上恒成立即在R+上↘,故所以a≥
1法2：罗比他法则，先猜后证……(4).(2017年全国Ⅱ简化)已知当x＞0时，都有
,求a的取值范围初等数学法3：设h(x)＝f(x)－ax－1即h(x)≥0在R+上恒成立，即h(x)mi
n≥0一导正负难分辨零点存在全靠猜……堪根二导紧相连该法的“坑”如下：①一导的“零点存在全靠猜”……②法1貌
似也是二导法……但实际上，法1不涉及：二导一导原函数这一逐步还原工作直接求出一导的最值即可，法1操作量少多了该类型问题，一般的，都是：①先配凑；1.证明f(a)－f(b)与a－b的大小关系2.证明f(a)、、f(b)的大小关系二、中值定理应用②再分别对上述两式，运用两次中值定理(5).(2004年全国Ⅱ简化)若且0＜a＜b＜2a法1：因由中值定理得：当时证明： |
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