|
第一章 误差 221 问3.142，3.141，分别作为π的近似值各具有几位有效数字, 7 分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 π=3.141 592 65„ 22记x=3.142，x=3.141，x=. 1237 由π- x=3.141 59„-3.142=-0.000 40„知 1 11,,34 ，,,,，,10||10x122 因而x具有4位有效数字。 1 由π- x=3.141 59„-3.141=-0.000 59„知 2 11,3,2 ，10,|,,x|,，10222 因而x具有3位有效数字。 2 22由π-=3.141 59 „-3.142 85„=-0.001 26„知 7 1221,3,2 ，10,|,,|,，10272 因而x具有3位有效数字。 3 2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。 分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。 解 利用有效数字与相对误差的关系。这里n=2,a是1到9之间的数字。 1 xx|,*|11,n，1,2，1*x |,()|,,，10,，10,5%rxa|*|22，11 3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字, 分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。 解 a是1到9间的数字。 1 3111,1,1* ,(x)0.3%,,,，10,，10r210002，102，(9，1)2(a，1)1设x*具有n位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。 4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。 分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。 解 设取n位有效数字，由sin1.2=0.93„，故a=9。 1 xx|,*|1,n，1,4*x ,()|,,，10,0.01%,10rxa|*|21 1n,，1,4，10,10解不等式知取n=4即可满足要求。 a21 11,5 计算，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。 759760 1 / 25
1/25页 -2-2-511解 0.131 8×10-0.131 6×10=0.2×10 ,,759760 结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大，若通分后再计算: 1111,5 ,,,,0.1734，106759760759，7600.5768，10 就得到4位有效数字的结果。 此例说明，在数值计算中，要特别注意两相近数作减法运算时，有效数字常会严重损失，遇到这种情况，一般采取两种办法:第一，应多留几位有效数字;第二，将算式恒等变形， 1,cosx然后再进行计算。例如，当x接近于0，计算时，应先把算式变形为 sinx 21,cosx1,cosxsinx,, sinxsinx(1，cosx)1，cosx 再计算。又例如，当x充分大时，应作变换 11，x,x, 1，x，x 111,, xx，1x(x，1) 62,1.46 计算a,(2,1)，取，采用下列算式计算: 1(1); 6(2，1) 99,702(2); 3(3)(3,22); 1(4). 3(3，22) 问哪一个得到的结果最好, 解 显然 66(2,1)(2，1)16a,(2,1),, 66(2，1)(2，1) 3632 ,,(2,1),(2,1),(3,22),99,702 1116(2,1),,, 3632(2，1)(3，22),,(2，1) 2,1.4所以(1)?(2)?(3)?(4)，这4个算式是恒等的，但当取计算时，因为(2)，(3)都涉及到两个相近数相减，使有效数字损失，而(1)在分母算式上的乘幂数比算式(4) f(x)2,1.4大，所以算式(4)最好，事实上，当取时，有|?x|<>，再由的误差 ,f(x，,x),f(x)|,|f(1.4)||,x|也可直接估计出每个算式的误差，显然，算式(4)误差最小。 2 / 25
2/25页 具体计算可行: 1,3(1); ,5.2，106(2，1) 99,702,1.0(2) 3,33); ((3,22),8.0，10 1,3(4). ,5.1，103(3，22) 比较可得用第(4)个算式所得的结果更接近于a。 2997 求二次方程x-(10+1)x+10=0的根。 2999解 由于x-(10+1)x+10=(x-10)(x-1)，所以方程的两个根分别为 9 x=10，x=1 122但如果应用一般二次方程ax+bx+c=0的求根公式: 2bb4ac,,, x,1,22a 22|b|,b,4ac由于当遇到b>>4|ac|的情形时，有，则用上述公式求出的两个根中，总有一个因用了两个相近的近似数相减而严重不可靠，如本例若在能将规格化的数表示到小 91010数点后8位的计算机上进行计算，则-b=10+1=0.1×10+0.000 000 0001×10，由于第二项最后两位数“01”在机器上表示不出来，故它在上式的计算中不起作用，即在计算机运算时， 9-b=10. 通过类似的分析可得 92b,4ac,|b|,10 所以，求得的两个根分别为 299,b，b,4ac10，109 x,,,1012a2 299,b,b,4ac10，10 x,,,022a2 显然，根x是严重失真的。 2 c为了求得可靠的结果，可以利用根与系数的关系式:xx,，在计算机上采用如下12a 公式: 2bsgn(b)b4ac,,, x,12a cx, 2ax1 其中，sgn(b)是b的符号函数，当b?0时sgn(b)=1;当b<>时，sgn(b)=-1。显然，上述求根公式避免了相近数相减的可能性。 8 当N充分大时，如何计算 N，11I,dx ,N1，x 1分析 函数的原函数已知，我们自然考虑用Newton-Leibniz公式求这个定积分21，x 3 / 25
3/25页 的值。由于N很大，这样会遇到两个相近的数相减，因此，应采用一些变换公式来避免这种情况。 解 若用定积分的Newton-Leibniz公式计算此题，有N，11，则当N充分大时，因为arctan(N+1)和arctanN,arctan(N，1),arctanN2,N1，x 非常接近，两者相减会使有效数字严重损失，从而影响计算结果的精度，这在数值计算中是要尽量避免的，但是通过变换计算公式，例如:令tanθ=N+1, tanθ=N，则由12 ,,tan,tanN，1,N121,,,得 tan(,),,,121，tan,tan,1，(N，1)N1，(N，1)N12 1,,arctan(N，1),arctanN,arctan,, 121，(N，1)N 就可以避免两相近数相减引起的有效数字损失，从而得到较精确的结果。所以，当N充分 N，111,arctan大时，用计算积分的值较好。 22,N1，x1，N，N 1nx,19 计算积分. I,xedx(n,1,2,？n,0 分析 数值计算中应采用数值稳定的算法，因此在建立算法时，应首先考虑它的稳定性。 解 利用分部积分法，有 11111nx,nx,nx,x,n,n,x,1111111 xedx,xde,xe,enxdx,1,nxedx|,,,,00000 得递推公式:  (1) IInIn,,,(1,2,)nn,1 110x,1,,, Ixedx1 0,0e *利用公式(1)计算I，由于初值I有误差，不妨设求I的近似值时有大小为ε的误差，In000 即 , I,I，,00 则由递推公式(1)得 ,,I,I,I,I,I,,,I,, 0110 ,, I,I,2I,I,2I，2,,I，2!,1221 ,, I,I,3I,I,3I,3，2!,,I，3!,2332 ,, I,I,4I,I,4I，4，3!,,I，4!,3443 ? ,n I,I，(,1)n!,nn 显然初始数据的误差ε是按n!的倍数增长的，误差传播得快，例如当n=10时，10～?3.629 6,,×10,，这表明I时已把初始误差ε扩大了很多倍，从而的误差已把I|I,I|,10!,I1010101010 4 / 25
4/25页 的真值淹没掉了，计算结果完全失真。 但如果递推公式(1)改成 1 I,(I,I)(n,k,k,1,？3,2)n,1nn 1于是，在从后往前计算时，I的误差减少为原来的，所以，若取n足够大，误并逐步减小，nn 显然，计算的结果是可靠的。所以，在构造或选择一种算法时，必须考虑到它的数值稳定性问题，数值不稳定的算法是不能使用的。 10 为了使计算 364y,10，，, 23x,1(x,1)(x,1) 的乘除法运算次数尽量地少，应将表达式改写为怎样的形式, 1t,,y,10，(3，(4,6t)t)t. 解 设x,1 在数值计算中，应注意简化运算步骤，减少运算次数，使计算量尽可能小。 11若x*=3587.64是x的具有六位有效数字的近似值，求x的绝对误差限。 7012为使的近似值的相对误差小于0.1，问查开方表时，要取几位有效数字, 13利用四位数学用表求x=1-cos2?的近似值，采用下面等式计算: (1)1-cos2? 2(2)2sin1? 问哪一个结果较好, 2783,27.98214求方程x-56x+1=0的两个根，使它至少具有四位有效数字(已知)。 ,15数列满足递推公式 {x},0n x,10x,1(n,1,2,？)nn,1 x2,1.41若取(三位有效数字)，问按上述递推公式，从x计算到x时误差有多大,这0010个计算过程稳定吗, ,n，1m,1,2,16如果近似值x,,(a，a，10，a，10，？，a，10)，10的相对误差限小123n 1,n，1，10于，证明:这个数具有n位有效数字。 a2(，1)1
5 / 25
5/25页 |
|
|
