(3)(2013年新课标Ⅱ简化)若证明：当m≤2时，f(x)＞0二导法：……得到f(x)是V型“类二次”函数故只需证明：在最小值
f(x0)＞0即可即故即该法，虽然也运用了放缩法，但与切线法比较……(4).(2016年全国Ⅲ)若f(x)
＝lnx－x＋1(Ⅰ)讨论当f(x)的单调性(Ⅱ)证明：当x∈(1,+∞)时，解(Ⅰ)：……易得f(x)
是A型类二次函数，x＝1是顶点解(Ⅱ)：由(Ⅰ)得f(x)≤f(1)＝0在(0,+∞)上恒成立,由式
得即lnx≤x－1当x＞1时,lnx＞0即………………在式中，用代替x可得即－lnx
＜－1综上，原命题成立(4).(2016年全国Ⅲ)若f(x)＝lnx－x＋1(Ⅰ)讨论当f(x)的
单调性(Ⅱ)证明：当x∈(1,+∞)时，(Ⅲ)设c＞1.证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx解(Ⅲ
)：即证：ln[1＋(c－1)x]＞xlnc解得x0＝即证：g(x)＝ln[1＋(c－1
)x]－xlnc＞0而由(Ⅱ)得即(Ⅲ)设c＞1.证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx解
(Ⅲ)：……解得x0＝g(x)＝ln[1＋(c－1)x]－xlnc＞0由(Ⅱ)得即
……即即x0∈(0，1)当x∈(0，1)时，解g/(x)＞0得g(x)在(0，x0)上↗当x∈(0，1
)时，解g/(x)＜0得g(x)在(x0，1)上↘而g(0)＝g(1)＝0，故g(x)＞0在(0，1)上恒
成立即原命题成立(4).(2016年全国Ⅲ)若f(x)＝lnx－x＋1(Ⅰ)讨论当f(x)的单调性
(Ⅱ)证明：当x∈(1,+∞)时，(Ⅲ)设c＞1.证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx解(Ⅲ)：当
然也可以直接选取：虽然求导的运算量，没有多少区分g(x)＝1＋(c－1)x－cx＞0作为辅助函数但解g
/(x0)＝0得x0＝？的操作量，大多了由(Ⅱ)通过放缩法得到x0∈(0，1)的操作量大多了(4).(201
6年全国Ⅲ)若f(x)＝lnx－x＋1(Ⅰ)讨论当f(x)的单调性(Ⅱ)证明：当x∈(1,+∞)时，(Ⅲ)
设c＞1.证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx我们再来看看(Ⅱ)(Ⅲ)问的高数解法：解(Ⅱ)：欲使，
只需即，由中值定理得：在(1,x)内至少存在一点?，使得即只需证，而该式显然成立(4).(20
16年全国Ⅲ)若f(x)＝lnx－x＋1(Ⅰ)讨论当f(x)的单调性(Ⅱ)证明：当x∈(1,+∞)时，(Ⅲ
)设c＞1.证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx01解(Ⅲ)：如图，在(0，1)上是凹函数即可
只需证明而的一导是二导是＞0在(0，1)上是凹函数故显然高数的解法，比初等数学的方法
，简捷多了高考中应用高数的方法，扣分否？扣多少？……我现有的信息是：(1)内蒙古自治区，不扣分(2)浙江省，2017年不扣
分(3)咱们省，我不清楚……有意思的是，高中数学老师，对是否加讲高数知识大多数高中老师，持反对意见，理由是：肯定扣分但
继续盘问，是否参加过高考阅卷工作？答曰：No！以上信息来源于几个两千多人的QQ高中数学老师群其中几位参加过阅卷工作的高中数学
老师当群中持反对意见的老师，看到此信息后竟然说：不能便宜了大学数学老师……考大学，是为了上大学，“技不压身”啊……高中常
见的放缩法(纯)不等式：……函数不等式：数列：……利用题中的条件放缩：利用重要的不等式放缩：“前人
栽树,后人乘凉”“服务意识”……均值不等式……(4).(2016年全国Ⅲ)若f(x)＝lnx－x＋1(Ⅰ)讨
论当f(x)的单调性(Ⅱ)证明：当x∈(1,+∞)时，(Ⅲ)设c＞1.证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞c
x回忆一下、(Ⅱ)(Ⅲ)问中的初等数学的方法：连续地运用题中的条件多次应用“拆并转”，“放缩”等手法……这么“
高大上”的东西，竟然用高数“秒”？！有没有一种“扎心”的感觉啊？！作业：(2016年山东简化)设函数对?x∈
[1，2]都有1.要求用：拆并转或放缩法，解决：2.要求用：构造辅助函数法，解决：预习：导数的应用___数列不等式及解证等
式(2016年全国I简化)设函数且a＞0，若x1，x2是f(x)的两个零点证明：x1＋
x2＜2一、导数不等式常见的题型：三、辅助函数法及放缩法：二、导数不等式常用的方法：间接法直接法变形法
：……替代法：……一端为○二导法凸凹翻转两最值2.放缩法：1.辅助函数法：§223导数的应用——解证不等式(
三)概念导数概述求导应用数学其他学科导数积分①求切线斜率②判定单调性③求极值④求最值⑤
堪根⑥解证不等式⑦证等式……⑨数列求和⑧曲边梯形面积我省大压轴题的特点以及数学能力，2.极具综合性：
1.①第一问，考察导数基本的知识和方法以考核、送分为目的②第二问，全面深入地考察常见的思想和方法以选拔为目的
以导数为“外包装”①考察函数的性质②与不等式、数列、平面向量……等知识的交汇③一般的，有很强的高数的背景3.极具技巧
性：压轴题是高考数学的精华，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思
想等特点并且要求考生要有一定的创新意识和能力一、导数不等式常见的题型：1.按问法分类：①不含参型③求最值①解不等
式②证不等式2.按参量分类：②含参型单参型双参型多参型3.按知识分类：导数不等式……数列不等式……一、
导数不等式常见的题型：二、导数不等式常用的方法：导数不等式，极具综合性和技巧性……不等问题函数办用“老大”函数的思想
和方法来处理“老三”不等式的问题一般的，最终要回归到函数的最值或单调性上来函数问题，可概括成：有图就有一切最值单调
两归宿辅助函数要巧设可导可解是关键为了解决目标不等式，需巧设辅助函数何为巧设？但其总策略，还是有章可循的导数
不等式的策略不等问题函数办最值单调两归宿辅助函数要巧设可导可解是关键巧设辅助函数的两标准①要有利于快速求导：
少用或不用求导法则……②要有利于快速求解导数不等式即能够快速地判定导数与○的关系i：尽量不要含参ii：导数能改写成乘积
式或顶点式iii：一导单调(二导保号)当上述两条不能同时满足时要动用各种手法，使之达到目的快速求导定单调单调
性是「常青树」一、导数不等式常见的题型：二、导数不等式常用的方法：导数不等式，极具综合性和技巧性……不等问题函数办
有章可循第一问防不胜防二三问变形替换两大类看图说话是技巧类二类三最常见应用枢纽单调性最值单调两归
宿辅助函数要巧设可导可解是关键但其总策略，还是有章可循的求导诚可贵构造价更高二、导数不等式
常用的方法：间接法直接法一端为○二导法凸凹翻转两最值变形法替换法作差法：拆并转：
换元法：参量分离法：……法：放缩法：与先猜后证配套切线法是代表作辅助函数法：…
…法极值(拐)点偏移是代表作一、导数不等式常见的题型：两端非○作差法化复杂为简单俗名“美容术”这么多方法
方法多了，就没有一个好方法……实际上，好多方法是“你中有我，我中有你”，难分彼此实际操作时好多时候是“多法并举”……
现阶段，只是为了讲解的方便强名曰：××法……一、导数不等式常见的题型：二、导数不等式常用的方法：直接法，是直接处理
目标不等式虽然直接法是基础，但从表象看，是低频法一般的，以文科试卷较为常见并且一般要与二导法相结合……故灵活应用间接法，
是理科生必备的能力间接法直接法变形法：……替代法：……一端为○二导法凸凹翻转两最值一、导数不等式常见的题
型：二、导数不等式基本策略和方法：变形：《西游记》中的孙大圣纵然有七十二变但仍然是孙大圣代替：《西游
记》中的真假美猴王用六耳猕猴来代替孙大圣变形：是将目标不等式同解变形，仍然是目标不等式代替：用另一个不等式代
替目标不等式间接法直接法变形法：……替代法：……一端为○二导法凸凹翻转两最值变形法：……替代法：……若含
参不等式在区间I上恒成立用最小值最大值来求参量的取值范围一般的，该解法是错误的但当f(x)与g
(x)的凸凹性是相反时该解法是可行的一般的，资料上称该方法其为：凸凹翻(反)转(两)最值法实际上，目标不等式两端函数的凸
凹性很少直接给出是相反的而是要根据做题的经验将其变化成两端凸凹性相反的不等式凸凹翻(反)转(两)最值法
一端为○二导法百年不变单调性快速求导定正负一导正负难分辨堪根二导紧相连两端非○作差法参量分离法一般的，与先
猜后证配套使用……即所谓的“端点效应”……形法数法(1)通法特法(2)最值法子集法变换主元法分离参量法
先猜后证法含参不等式常成立注1.描述方式繁多引申变式多样含参不等式恒成立含参不等式恰成立含参不等式能成立注3.解
法灵活多样技巧性极强注2.常成立是基础恒成立是重点分类讨论含参不等式——四成立最值法子集法变换主元法分离
参量法先猜后证法通法特法3.含参不等式恒成立：形法数法(2)(1)2.含参不等式恰成立1.含参不等式常成立—
—分类讨论4.含参不等式能成立——回归到恒成立用最值法，求与含参不等式恒成立“相反”的最值即可含参不等式四成立小作：
一般的，不等式解集的端点值是对应方程的根大作：回归到含参不等式常成立拆并转当目标不等式不能够简捷地，确定其单调性时
需要动用各种手法，将目标不等式：化复杂为简单，化陌生为熟练……换元法俗名“美容术”，“吹糠见米”……代数换元与三角换元
增量换元与常量换元整体换元与局部换元一、导数不等式常见的题型：三、辅助函数法及放缩法：二、导数不等式常用的方法：
间接法直接法变形法：……替代法：……一端为○二导法凸凹翻转两最值2.放缩法：1.辅助函数法：§223
导数的应用——解证不等式(三)练习1.辅助函数法：(1)已知,求证：先证：即证设而＜0在(e,+∞
)上恒成立故f(x)在(e,+∞)上↘又,故f(b)＜f(a)即成立练习1.辅助函数法：
(1)已知,求证：再证：即证设而＞0在(e,+∞)上恒成立故g(x)在(e,+∞)上↗又,故g(a)
＜g(b)即成立综上，原命题成立(2).已知函数f(x)＝x－lnx－a有两个零点x1，
x2故f(x)在上↘；在上↗从而设F(x)=因1.前期准备工作：f(x)
是V型“类二次”函数且x＝1是f(x)的极小值点求证：x1＋x2＞2＜0故有a＞1且(0＜x＜1)
构造对称函数法1：2.后期工作：三小步，两用单调性，论“偏移”极值点偏移，方法多多……(2).已知函数f(x)=x－l
nx－a有两个零点x1，x2f(x)在上↘；在上↗设F(x)=求证：x1
＋x2＞2a＞1且前期工作V型函数而第一步故F(x)在(0，1)上↘故F(x)＜F(
0)=0在(0，1)上恒成立即在(0，1)上恒成立作差单调判正负第二次应用单调性(正用)
(0＜x＜1)＜0在(0，1)上恒成立(2).已知函数f(x)=x－lnx－a有两个零点x1，x2f(
x)在上↘；在上↗求证：x1＋x2＞2a＞1且前期工作V型函数第一步
在(0，1)上恒成立因f(x2)=f(x1)第二步结合相等到同侧作差单调判正负第二次应用单调性(正用)
第三步三用单调得结论又因f(x)在(1,＋∞)上↗故,即(2).已知函数f(x)＝x－lnx－a
有两个零点x1，x2析1：因，求证：x1＋x2＞2二次函数拟合法2：泰勒定理是幕后……
故f/(1)=0说明了：f(x)是V型函数且x＝1是极小值点析2：又因，故f/
/(1)=1g(x)=故＝(1－a)＋0＋＝＋1－a(2).已知函数f(x)＝
x－lnx－a有两个零点x1，x2故f(x)在上↘；在上↗从而因1.前期准备工
作：f(x)是V型函数且x＝1是f(x)的极小值点求证：x1＋x2＞2＜0故有a＞1且2.后期台前
工作：三小步……二次函数拟合法2：(2).已知函数f(x)＝x－lnx－a有两个零点x1，x2证：因……
f(x)是V型函数，x＝1是极小值点求证：x1＋x2＞2设g(x)=＋1－a
,F(x)=f(x)－g(x)而F/(x)=2－x－＝0在R+上恒成立故F(x)在(0
,+∞)上↘又因F(1)＝0故当x＜1时,有f(x)＞g(x)故当x＞1时,有f(x)＜g(x)
台前工作三步走作差单调判正负第一步(2).已知函数f(x)＝x－lnx－a有两个零点x1，x2证：因
……求证：x1＋x2＞2故当x＜1时,有f(x)＞g(x)故当x＞1时,有f(x)＜g(x)第
一步作差单调判正负第二步四个零点把序排设x3,x4是g(x)的两个零点且x3＜1＜x4
f(x)在上↘；在上↗由式得…………f(x1)＝g(x3)＜f(x3
)，故x3＜x1＜1＜x4＜x2而f(x)在上↘同理有x4＜x2，故x1＞x3(
2).已知函数f(x)＝x－lnx－a有两个零点x1，x2证：因……求证：x1＋x2＞2故当x＜1时,有
f(x)＞g(x)故当x＞1时,有f(x)＜g(x)第一步作差单调判正负第二步四个零点把
序排f(x)在上↘；在上↗x3＜x1＜1＜x4＜x2第三步中点公式得结论故x1
＋x2＞x3＋x4＝2(2).已知函数f(x)＝x－lnx－a有两个零点x1，x2求证：x1＋x2＞2
对(指)数均值不等式法3：不妨设x2＞x1＞0由f(x1)＝x1－lnx1－a＝0及f(
x2)＝x2－lnx2－a＝0得x2－x1＝lnx2－lnx1即＝1由
对数均值不等式：得(a＞b)＝1即x1＋x2＞2(2).已知函数f
(x)＝x－lnx－a有两个零点x1，x2求证：x1＋x2＞2不妨设x2＞x1＞0由题意得a＝x1－lnx1，a＝x2－lnx2可得令t＝∈(0,1)x1＝，x2＝故x1＋x2＝＋设g(t)＝(0＜t＜1)用二导法证明：g(t)＞2……即有x1＋x2＞2(齐次化)换元法4：(3)(2013年新课标Ⅱ简化)，证明：当m≤2时，f(x)＞0析①：如图析②：隔线(切线)法析③：即证：若练习2.放缩法：(3)(2013年新课标Ⅱ简化)若证明：当m≤2时，f(x)＞0二导法：因在(-m,＋∞)上恒成立即f/(x)在(-m,＋∞)上↗由零点存在定理得:?使得故在(-m,x0)上有f/(x)＜0故f(x)在(-m,x0)上↘，在(x0,＋∞)上↗故f(x)≥f(x0)在(-m,＋∞)上恒成立在(x0,＋∞)上有f/(x)＞0到此只需证明：在(-m,＋∞)上f(x0)＞0即可 |
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