§224导数的应用——解证等式及数列不等式一、导数法解证等式：二、导数法解证数列不等式：法1：若f(x)=g(x)，
则f/(x)=g/(x)近几年高考题的主要特征是：法2：若f/(x)=g/(x)，则f(x)=g(
x)+C1.①用导数法解证给出的“半成品”辅助函数②对此“半成品”辅助函数作一简单的变形③结合对数及数列知识从而解得
目标不等式2.“半成品”辅助函数，大多数是的衍变不等式概念导数概述求导应用数学其他学科导数积
分①求切线斜率②判定单调性③求极值④求最值⑤堪根⑥解证不等式⑦证等式……⑨数列求和⑧曲边梯形面积割线极限
是切线一导本身是斜率必须切点横坐标切点坐标及斜率知一有二基本功在即切点过待定导数的几何意义二导意义是曲率
大凹小凸○拐点导数法判定单调性第一确定定义域第二求导到显然注1：最终结果要显然乘积配方与○比注2：增大减
小○驻点等号问题待大学含参反用必须等其他情况暂忽略注3：书写格式要简明三解不等得结论书写格式要简明①
②③①当f(x)单调时②当f(x)不单调时因在Domain上恒成立故f(x)在
Domain上↗（↘）当x∈Domain时，解得f(x)在I1，I2…上↗当x∈Domain时，解
得f(x)在I1，I2…上↘2.二导法求极值：一求驻点二筛选大小小大○为非一般地，若f(
x0)是极小值则f(x0)是极大值f(x0)是非极值①②③1.一导法求极值：一求驻点二单调三写极值靠图
象书写格式要简明含参反用须验根二、数法：一、形法：顶点即是极值点谷底极小峰极大极值的求法最值的求
法1.形法2.数法函数图象线性规划函数法(单调性法)最值定理必有最值闭且连最值来源顶端点导数法——单调性
法的特例看图说话是关键最值来源顶端点一论单调算顶端三写最值是格式能代则代罗比达是则名为筛选法§224导数的应
用——解证等式及数列不等式一、导数法解证等式：二、导数法解证数列不等式：法1：若f(x)=g(x)，则f/(
x)=g/(x)近几年高考题的主要特征是：法2：若f/(x)=g/(x)，则f(x)=g(x)+C1
.①用导数法解证给出的“半成品”辅助函数②对此“半成品”辅助函数作一简单的变形③结合对数及数列知识从而解得目标不等式
2.“半成品”辅助函数，大多数是的衍变不等式一、导数法解证等式：法1：若f(x)=g(x)，则f/(x)
=g/(x)例1：求数列的前n项和Sn解：设则又因Sn=2f/(2)，而f/(2)=g/(2)
化简得，故Sn=2g/(2)例2：已知n∈N,求证：析1:从结构特征观察：符合二项式定理的某些特征前项后项“+”
相连展开共有n+1三块组成每一项前降后升和为n二项式定理析2:所以，可选辅助函数：，例2：已知n∈N,
求证：解:设则即,因f(x)=g(x)，故f/(x)=g/(x)所以f/(1)=g/(1)一
、导数法解证等式：法1：若f(x)=g(x)，则f/(x)=g/(x)法2：若f/(x)=g/(x)
，则f(x)=g(x)+C例3.求证:所以f(x)是常值函数析:构造辅助函数则,又因f(0)=0即法
2：若f/(x)=g/(x)，则f(x)=g(x)+C例4.求证:(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
=(a+b)(b+c)(c+a)析2:视a主元，构造辅助函数f(a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc-(
a+b)(b+c)(c+a)则所以f(a)是常值函数，故f(a)=0又因f(0)=(b+c)bc-(b+c)
bc=0即(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)析1：对多变量等式，可固定其中一
个变量为主元视其他变量为参量，然后解证之二、导数法解证数列不等式：近几年高考题的主要特征是：1.①用导数法
解证给出的“半成品”辅助函数2.“半成品”辅助函数多数是的衍变①当x∈(0,1)时,②当x∈(1,+∞)时,③
令③结合对数及数列知识从而解得目标不等式②对此“半成品”辅助函数作一简单的变形(5)已知n∈N，求证：证明：令
，由得将上述各式迭加得令，则……(6)已知n∈N，求证：证明：令，由
得，将所得n个不等式迭加得令整理得的图象(7)(2010年湖北)已知函数(Ⅰ)用a表示出b
,c在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1(Ⅲ)证明：(Ⅱ)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立，求a的取
值范围解：(Ⅰ)因则解得(Ⅱ)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范围解：(Ⅱ)由(Ⅰ)得ⅰ
:当x=1时，易得对任意的a∈R，f(x)≥lnx成立ⅱ:当x＞1时，f(x)≥lnx在(1,+∞)上恒成立等价
于在(1,+∞)上恒成立而,故有必要条件下证充分性：当且x＞1
时，f(x)≥lnx恒成立的图象(7)(2010年湖北)已知函数在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1
(Ⅱ)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范围的图象(7)(2010年湖北)已知函数在点(1,f(1)
)处的切线方程为y=x-1(Ⅱ)……已由端点效应猜得，必要条件：综上设而故g(x)在(1,+∞)上↗故g
(x)＞g(0)=0在(1,+∞)上恒成立＞0，当且x＞1时恒成立的图象(7)(2010年湖北)已知函数
在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1(Ⅲ)证明：令(Ⅲ)由(Ⅱ)知当时，在(
1,+∞)上恒成立则，将所得n个不等式迭加得令即(Ⅱ)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立，求得（提示：作业：预习：2.已知n∈N，n≥2，求证：1.用导数法证明：定积分的概念，几何意义及其运算中，令) |
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