高考对本章内容的考查多以“两小一大”的形式出
江苏
现，小题多考查双曲线、抛物线、圆的方程与性质，而大
新
题主要考查直线与圆?如2013年、2016年?、直线与椭圆?
高如2014年、2015年、2017年?的位置关系、弦长问题及
考范围问题等.
第1课时解析几何中的基本问题(基础课)
[常考题型突破]
直线方程及两直线位置关系
[必备知识]
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1
＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则
要考虑斜率是否存在．
2．两个距离公式
(1)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝
|Ax0＋By0＋C|
.
A2＋B2
(2)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，
|C1－C2|
l：Ax＋By＋C＝0间的距离d＝.
22A2＋B2
[题组练透]
1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为___．
1
解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，所以kl＝－＝1.又直
kPQ
线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即
x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
2．(2017·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx
－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变
化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为______．
1?1?
解析：由题意，kl1＝k，kl2＝－，则kl1·kl2＝k·?－?＝－1(k＝0
k?k?
时，两条直线也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点：M(0,2)，
N(2,0)．
∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且kMN＝－1，可
得MN与直线x－y－4＝0垂直．
|0－2－4|
∴点M到直线x－y－4＝0的距离d＝＝32为最大值．
2
答案：32
3．(2017·苏州考前模拟)在平面直角坐标系中，已知两点P(0,1)，
Q(3,6)，在直线y＝x上取两点M，N，使得MN＝2a(其中a>0
为定值)，则当PM＋NQ取得最小值时，点N的坐标为________．
解析：(1)设点A(1,0)，B(1＋a，a)，则AB∥MN，且AB＝MN，
所以四边形ABNM为平行四边形，所以AM＝BN，又因为点P
与A关于直线y＝x对称，所以PM＝AM，所以PM＋NQ＝AM
＋NQ＝BN＋NQ，所以当B，N，Q三点共线时，PM＋NQ取
最小值为BQ＝?a－2?2＋?a－6?2.此时BQ方程为(a－6)x－(a
??
?3a＋63a＋6?
－2)y＋3a＋6＝0，与直线y＝x联立解得N?，?.
?44?
(2)若设A(1,0)，B(1－a，－a)，同理可得PM＋NQ最小值为
?a＋2?2＋?a＋6?2，因为a>0，所以?a＋2?2＋?a＋6?2
>?a－2?2＋?a－6?2，不合题意．
??
?3a＋63a＋6?
综上，PM＋NQ取得最小值时点N的坐标为?，?.
?44?
??
?3a＋63a＋6?
答案：?，?
?44?
[方法归纳]
求直线方程的两种方法
圆的方程
[必备知识]
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2
＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以
?DE?D2＋E2－4F
?－，－?为圆心，为半径的圆．
?22?2
[题组练透]
1．(2017·南通一模)已知圆C过点(2，3)，且与直线x－3y＋3
＝0相切于点(0，3)，则圆C的方程为_______________．
解析：设圆心为(a，b)，
?b－33
?·＝－1，
则?a3
2??222
??－?
??a－2?＋?b3?＝a＋?b－3?，
解得a＝1，b＝0，r＝2.
即所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.
答案：(x－1)2＋y2＝4
2．(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，
45
5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C
5
的方程为________________．
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，
2a45
所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，
55
所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
3．与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为25的圆
的标准方程为_______．
解析：由题意，所求圆的圆心在直线y＝－2x上，所以可设所
求圆的圆心为(a，－2a)(a<0)，又因为所求圆与圆C：x2＋y2－
2x＋4y＝0外切于原点，且半径为25，所以a2＋?－2a?2＝
25，可得a2＝4，解得a＝－2或a＝2(舍去)．所以所求圆的
标准方程为(x＋2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x＋2)2＋(y－4)2＝20
[方法归纳]
圆的方程的两种求法
(1)几何法
通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而
求得圆的基本量和方程．
(2)代数法
用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从
而求得圆的方程．
直线与圆、圆与圆的位置关系
[必备知识]
222
1．过圆O∶x＋y＝r上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是
2
x0x＋y0y＝r.
222
2．过圆O∶x＋y＝r外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切
点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x
2
＋y0y＝r.
3．判断直线与圆的位置关系问题的两种方法
(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，
利用判别式Δ来判断位置关系：Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ<0
?相离．
(2)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：
dr?相离．
4．判断两圆位置关系时常用几何法
即通过判断两圆心距离O1O2与两圆半径R，r的关系来判断
两圆位置关系．
(1)外离：O1O2>R＋r；
(2)外切：O1O2＝R＋r；
(3)相交：R－r
(4)内切：O1O2＝R－r；
(5)内含：0≤O1O2
[提醒]利用两圆组成的方程组解的个数，不能判断内切与
外切、外离与内含．
[题组练透]
1．(2017·苏锡常镇二模)已知直线l：mx＋y－2m－1＝0，圆C：
x2＋y2－2x－4y＝0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，
实数m＝________.
解析：由题意得，C(1,2)，直线l：m(x－2)＋y－1＝0恒过定
点A(2,1)，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，直线l⊥CA，
1－2
因为直线l的斜率为－m，直线CA的斜率为＝－1，所以
2－1
－m×(－1)＝－1，即m＝－1.
答案：－1
2．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0
相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．
解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2
＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝a2＋2，因为|AB|＝23，
|0－a＋2a|
点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝＝
2
????
|a|?23?2?|a|?222
，由勾股定理得??＋??＝a＋2，解得a＝2，
2?2??2?
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.
答案：4π
3．若圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为
1，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意，两圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4与x2＋y2＝1相交
?2＋＋，
22?5a6a8>0
于相异两点，所以1<4a＋?a＋3?<3，即?2
??5a＋6a<0，
6
解得－
5
?6?
答案：?－，0?
?5?
4．(2017·扬州考前调研)已知圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0(a为
π
常数)与直线y＝x相交于A，B两点，若∠ACB＝，则实数
3
a＝________.
解析：因为圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，所以
C(a,1)，r＝a2－1，因为圆C与直线y＝x相交于A，B两点，
π3|a－1|
且∠ACB＝，所以r＝，且a2－1>0，解得a＝－5.
322
答案：－5
5．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0,6)，
―→―→
点P在圆O：x2＋y2＝50上．若PA·PB≤20，则点P的横坐
标的取值范围是________．
―→―→
解析：设P(x，y)，则PA·PB＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)
＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20.
又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，
所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)．
又点P在圆x2＋y2＝50上，
??y＝2x＋5，
由?22
??x＋y＝50，
解得x＝－5或x＝1，
结合图象，
可得－52≤x≤1，
故点P的横坐标的取值范围是[－52，1]．
答案：[－52，1]
[方法归纳]
1.解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法
?1?讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，
充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.
?2?圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到
点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转
化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最
值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.
[方法归纳]
2.求弦长问题的两种方法
?1?利用半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，结
?l?
合勾股定理d2＋??2＝r2求解；
?2?
?2?若斜率为k的直线l与圆C交于A?x1，y1?，B?x2，y2?两点，
则
圆锥曲线的基本量运算
[必备知识]
1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系
c?b?
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝1－??2；
a?a?
c?b?
(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝1＋??2.
a?a?
x2y2b
2．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心
aba
率e与渐近线的斜率的关系．
[题组练透]
x2y2
1．(2017·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－＝1
2m3m
的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是__________．
?6?
解析：由题意得，2m2＋3m＝??2，所以2m2＋3m－9＝0，解得
?2?
3x2y2
m＝或－3，因为2－＝1是双曲线的方程，所以m＞0，所
22m3m
3??3??
以m＝.所以实数m构成的集合是??.
2??2??
??3??
答案：??
??2??
2.(2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系
x2y2
xOy中，已知A，B，B分别为椭圆C：2＋2＝
12ab
1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右
焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________．
―→
解析：由题意得，A(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，F(c,0)，所以B2F
―→―→―→
＝(c，－b)，AB1＝(－a，－b)，因为B2F⊥AB1，所以B2F·AB1
＝0，即b2＝ac，所以c2＋ac－a2＝0，e2＋e－1＝0，又椭圆的离
5－15－1
心率e∈(0,1)，所以e＝.答案：
22
x2
3．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1
3
的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，
F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．
33
解析：由题意得，双曲线的右准线x＝与两条渐近线y＝±
23
??
?33?
x的交点坐标为?，±?.
?22?
不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，
则F1(－2,0)，F2(2,0)，
11
故四边形FPFQ的面积是FF·PQ＝×4×3＝23.
122122
答案：23
2
x2
4．(2017·南通三模)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2－y＝
a
1(a>0)经过抛物线y2＝8x的焦点，则该双曲线的离心率为
_______．
2
x22
解析：因为双曲线2－y＝1(a>0)经过抛物线y＝8x的焦点坐标
a
(2,0)，所以a＝2，在双曲线中，b＝1，c＝a2＋b2＝5，所以
c5
双曲线的离心率是e＝＝.
a2
5
答案：
2
x2y2
5．(2016·山东高考)已知双曲线E：2－2＝1(a＞0，b＞0)，若矩
ab
形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦
点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
2b2
解析：如图，由题意知＝，＝
|AB|a|BC|2c.
又2|AB|＝3|BC|，
2b2
∴×＝×，即2＝，
2a32c2b3ac
∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解
得e＝2(负值舍去)．答案：2
6．(2017·南京考前模拟)已知椭圆C：mx2＋y2＝1(0＜m＜1)，直
线l：y＝x＋1，若椭圆C上总存在不同的两点A与B关于直
线l对称，则椭圆C的离心率e的取值范围为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点P(x0，y0)，
?22
?mx1＋y1＝1，
∵A，B在椭圆C上，∴?22两式相减，
??mx2＋y2＝1，
m?x1＋x2?y1－y2mx0
整理得＝－，即－＝kAB，
y1＋y2x1－x2y0
故kAB·kOP＝－m，又∵kAB＝－1，∴kOP＝m，
??y＝mx，
∴直线OP的方程为y＝mx，联立方程?
??y＝x＋1，
??
?1m?
得P?，?，由点P在椭圆内，
?m－1m－1?
????
?1?2?m?2
∴m??＋??<1，
?m－1??m－1?
1
解得0
3
2??
b?6?
∴离心率e＝1－2＝1－m∈?，1?.
a?3?
??
?6?
答案：?，1?
?3?
[方法归纳]
应用圆锥曲线的性质的两个注意点
(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的
关键．
(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a
的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于
参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率
的值或范围．
[课时达标训练]
[A组——抓牢中档小题]
1．(2017·苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1,1)
的直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线ax＋y－1＝
0垂直，则实数a＝________.
解析：因为点M(1,1)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5上，圆心与点M的连
2－11
线的斜率为＝－，所以切线l的斜率为2，又因为切线l与
－1－12
1
直线ax＋y－1＝0垂直，所以a＝.
2
1
答案：
2
2．(2017·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中，直线2x＋y
x2y2
＝0为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，则该双曲线
ab
的离心率为__________．
x2y2
解析：因为直线2x＋y＝0为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一
ab
bb2
条渐近线，所以＝2，所以e＝1＋2＝5.
aa
答案：5
3．(2017·无锡期末)设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲
线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双
曲线C2的离心率为e2，若3e1＝e2，则e1＝________.
解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，由
定义知，不妨设P在第一象限，
?
?PF1＋PF2＝2a1，
则?
??PF1－PF2＝2a2，
所以PF1＝a1＋a2，PF2＝a1－a2，
因为PF1⊥PF2，
222
所以PF1＋PF2＝F1F2，
222
即(a1＋a2)＋(a1－a2)＝4c，
11
整理得2＋2＝2，
e1e2
5
又因为3e＝e，所以e＝.
1213
5
答案：
3
4．(2017·南京考前模拟)在平面直角坐标系xOy中，M为圆C：
16
(x－a)2＋(y－1)2＝上任意一点，N为直线l：ax＋y＋3＝0
9
上任意一点，若以M为圆心，MN为半径的圆与圆C至多有
一个公共点，则正数a的最小值为_________．
解析：因为圆M与圆C至多有一个公共点，
?4?
所以MC≤?MN－?，
?3?
?4?48
即?MN－?≥，解得MN≥，
?3?33
a2＋44
又MN的最小值为－，
a2＋13
a2＋448
所以－≥，
a2＋133
解得a≥22，所以正数a的最小值为22.答案：22
x2y2
5．以双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点F为圆心，a为半径
ab
的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率
为________．
b
解析：由题设知，双曲线的渐近线方程为＝，圆的方程
y±ax
为(x－c)2＋y2＝a2，因为渐近线与圆相切，故由点到直线的距
bc
离公式得＝a，则a＝b，c＝2a，故离心率e＝2.
a2＋b2
答案：2
6．(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋
y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B
两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是________．
解析：由题意知△ABC为等腰直角三角形，且AC＝BC＝4，
AB＝42，
∴圆心C到直线ax＋y－2＝0的距离d＝42－?22?2＝22，
|a＋a－2|
∴＝22，解得a＝－1.
a2＋1
答案：－1
7．(2017·泰州中学月考)直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4
相交于M，N两点，若MN≥23，则k的取值范围是________．
解析：由圆的方程知圆心(2,3)，半径r＝2，
|2k|
∵圆心到直线y＝kx＋3的距离d＝，
k2＋1
4k2
∴MN＝2r2－d2＝24－≥23，
k2＋1
33
解得4k2≤k2＋1，即－≤k≤.
33
??
?33?
答案：?－，?
?33?
8．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一点，直线l：
3x－4y－5＝0.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P
有________个．
解析：由题意知圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所
|－6－12－5|23
以圆心(－2,3)到直线l的距离d＝＝∈(4,6)，故
55
满足题意的点P有2个．
答案：2
9．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，
则该椭圆的离心率为________．
解析：由题意知2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，
3
消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，所以e＝或
5
e＝－1(舍去)．
3
答案：
5
x2y2
10．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右顶
ab
点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的
一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离
心率为________．
b
解析：双曲线的右顶点为，一条渐近线的方程为＝，
A(a,0)yax
|ba－a×0|ab
即bx－ay＝0，则圆心A到此渐近线的距离d＝＝.
b2＋a2c
ab
又因为∠＝°，圆的半径为，所以°＝，
MAN60bb·sin60c
3bab22323
即＝，所以e＝＝.答案：
2c333
2
2x2
11．若抛物线y＝8ax(a>0)的准线经过双曲线2－y＝1的一个焦
a
2
x2
点，则椭圆2＋y＝1的离心率e＝________.
a
解析：抛物线y2＝8ax(a>0)的准线方程为x＝－2a，双曲线
2
x222
2－y＝1的焦点坐标为(±a＋1，0)，则2a＝a＋1，得
a
16
a2＝，所以椭圆的离心率e＝1－a2＝.
33
6
答案：
3
x2y2
12．设F，F分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任
122516
一点，点M的坐标为(6,4)，则PM＋PF1的最大值为________．
解析：由椭圆定义知PM＋PF1＝PM＋2×5－PF2，
而PM－PF2≤MF2＝5，所以PM＋PF1≤2×5＋5＝15.
答案：15
13．(2017·苏州张家港暨阳中学月考)已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：
(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O
的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则实数
a的取值范围为______________．
解析：如图，圆O的半径为1，圆M上存在
点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，
B，使得∠APB＝60°，则∠APO＝30°，在
Rt△PAO中，PO＝2，
又圆M的半径等于1，圆心坐标M(a，a－4)，
∴POmin＝MO－1，POmax＝MO＋1，
∵MO＝a2＋?a－4?2，
∴由a2＋?a－4?2－1≤2≤a2＋?a－4?2＋1，
22
解得2－≤a≤2＋.
22
??
?22?
答案：?2－，2＋?
?22?
14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：4x－3y－2＝0上至少
存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与以(4,0)为圆
心，R为半径的圆C有公共点，则R的最小值是________．
解析：由题意，直线4x－3y－2＝0上至少存在一点A，以该
点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即ACmin＝1＋R，
14
因为AC即为点C到直线4x－3y－2＝0的距离，为，所
min5
9
以R的最小值是.
5
9
答案：
5
[B组——力争难度小题]
1．(2017·南京考前模拟)在平面直角坐标系xOy中，M为直线x＝3
上一动点，以M为圆心的圆记为圆M，若圆M截x轴所得的
弦长恒为4.过点O作圆M的一条切线，切点为P，则点P到直
线2x＋y－10＝0的距离的最大值为________．
解析：设M(3，t)，P(x0，y0)，
―→―→
因为OP⊥PM，所以OP·PM＝0，
22
可得x0＋y0－3x0－ty0＝0，①
又圆M截x轴所得的弦长为4，
22222
所以4＋t＝(x0－3)＋(y0－t)，整理得x0＋y0－6x0－2ty0＋5＝0，②
2222
由①②得x0＋y0＝5，即点P在圆x＋y＝5上，
10
于是P到直线2x＋y－10＝0距离的最大值为＋5＝35.
5
答案：35
2．在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：
x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，若点A恰为线段
OB的中点，则圆心C到直线l的距离为________．
解析：先将圆C化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，则圆心C(3,0)，
半径r＝2，设过原点O的动直线l的方程为y＝kx，因为点A
恰为线段OB的中点，设A(a，ka)，B(2a,2ka)，得(1＋k2)a2－
6a＋5＝0.①
?33?
取AB的中点D，则D?a，ka?，
?22?
3
ka
21
如图，连结CD，则CD⊥AB，＝－.②
3k
a－3
2
515
联立①②，解得a＝，k＝±，则
45
??
?15315?36
D?，±?，CD＝，
?88?4
36
即圆心C到直线l的距离为.
4
36
答案：
4
x2y2
3．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝
ab
1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于
A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方
程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
ppp
由抛物线的定义可知|AF|＝y＋，|BF|＝y＋，|OF|＝，
12222
pp
由|AF|＋|BF|＝y＋＋y＋＝y＋y＋p＝4|OF|＝2p，得
122212
y1＋y2＝p.
?x2y2
?2－2＝1，
联立?ab消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
??x2＝2py
2pb22pb2
所以y＋y＝2，所以2＝p，
12aa
b21b2
即2＝，故＝，
a2a2
2
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
2
2
答案：y＝±x
2
x2y2
4．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)，点A，B，B，F依次为其左顶
ab12
点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交
点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．
解析：如图，A(－a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)，F(c,0)，
?a2?
设点M?，yM?.
?c?
byM
由kAB2＝k，得＝2，
AMaa
＋
ca
?a?
所以yM＝b?＋1?.
?c?
byM
由kFB1＝k，得＝2，
FMca
－
cc
b?a2?
所以yM＝?－c?.
c?c?
?a?b?a2?1
从而b?＋1?＝?－c?，整理得2e2＋e－1＝0.解得e＝.
?c?c?c?2
1
答案：
2 |
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