解：由第一积分中值定理
n
11
x111
n
dx?xdx??，?0???1?
n
??
00
1?x1??1??n?1
nn
n
1
x
所以
limdx?0
?
0
n??
1?x
15、利用收敛级数的必要条件求极限
n
x
例、求
lim
n??
n!
n
?
x
x
解：已知指数函数的幂级数展开式e?对于一切x?R收敛
?
n!
n?0
n
x
而收敛级数的一般项趋于0，故得lim?0
n??
n!
16、用带有皮亚诺余项的泰勒展开式求函数或序列的极限
?1?
??
2
例、limx?xln1?
??
??
x??
x
??
??
1
??
2o
??
2
??
111111
??????
22
x
??
解：x?xln1??x?x???0??
????????
2
1
xx2xx2
??????
??
??
2
x
1
原式
?
2
17、利用柯西收敛准则处理极限问题
111
例、用Cauchy收敛准则证明x?1????无极限.
n
352n?1
1
证:取???0,?N?0,任取n??N,pn,有
0
5
111nn1
x?x?x?x?????????.
n?pn2nn
2n?12n?34n?14n?14n4
故由Cauchy收敛准则知,?x?为发散数列.
n
18 |
|
