数学|小学数学基础知识点（二）

      小学数学属于数学教育的早期阶段。小学数学是通过教材，教小朋友们关于数的认识，四则运算，图形和长度的计算公式，单位转换一系列的知识，为初中和日常生活的计算打下良好的数学基础。荷兰教育家弗赖登诺尔认为：“数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实。”从小学生数学学习心理来看，学生的学习过程不是被动的吸收过程，而是一个以已有知识和经验为基础的重新建构的过程，因此，做中学，玩中学，将抽象的数学关系转化为学生生活中熟悉的事例，将使儿童学得更主动。从我们的教育目标来看，我们在传授知识的同时，更应注重培养学生的观察、分析和应用等综合能力。

     小学数学的基础知识分三部分：数与代数；空间和图形；统计与可能性。因为内容较多，为了方便大家阅读和学习，我们分次上传。

     第一部分：数与代数分为：

  1、数的认识；2、数的运算；3、方程与式子；4、正比例与反比例；

    第二部分：空间域图形分为：

1、图形的认识和测量；2、图形的变换；

   第三部分：统计与可能性分为：

1、统计；2、可能性。

第一部分：数与代数

二、数的运算

计算法则

整数、小数、分数

1、整数加、减法则：

把相同数位对齐，从左向右，从低位算起。

2、小数加、减法则：

把小数点对齐，从左向右，从低位算起。

3、小数乘法法则：

（1）先按整数乘法算出积是多少，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。（即给乘数先扩大一定的倍数，计算结束再缩小相同的倍数。一般都是10倍、百倍、千倍等。）

（2）注意：在积里点小数点时，位数不够的，要在前面用0补足。

4、小数除法法则：

（1）商的小数点要和被除数的小数点对齐；

（2）有余数时，要在后面添0，继续往下除；

（3）个位不够商1时，要在商的整数部分写0，点上小数点，再继续除。

（4）把除数转化成整数时，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位。

（5）当被除数的小数位数少于除数的小数位数时，要在被除数的末尾用0补足。

5、一个小数乘10、100、1000……只要把这个小数的小数点向右移动一位、两位、三位……

6、一个小数除以10、100、1000……只要把这个小数的小数点向左移动一位、两位、三位……

7、分数加、减法：

（1）同分母分数相加减，把分子相加减，分母不变。（即分子相加所得做分子，分母不变。）

（2）异分母分数相加减，要先通分化成同分母分数，然后再相加减。

8、分数大小的比较：

（1）同分母分数相比较，分子大的大，分子小的小。

（2）异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。

（3）若两个真分数分母与分子的差相等，可以用1分别减这两个数，比较所得差的大小。差的结果打的原分数小，差的结果小的原分数大。

例如：

9、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

     10、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

四则运算的意义

加法运算

1、加法是基本的四则运算之一，它是指将两个或者两个以上的数、量合起来，变成一个数、量的计算。表达加法的符号为加号“+”。进行加法时以加号将各项连接起来。在一般加法中的数字被统称为加数，结果称为总和

2、已知一部分和另一部分，求两部分的和用加法。

注意：这两部分必须完全同类的事物。不同类的不能相加。

例如：3根筷子和5根筷子相加等于8根筷子。

但是3根筷子和5辆汽车就不能相加。3、表达形式：

一个加数＋另一个加数＝和

一个加数＝和－另一个加数4、加法运算的竖式

减法运算

1、减法是四则运算之一，从一个数中减去另一个数的运算叫做减法；从整体中减去一部分求剩余部分的运算。表示减法的符号是“-”，读作减号。
2、求一个数比另一个数多多少或者少多少，用减法。
3、减法是加法的逆运算。
4、表达形式：

被减数－减数＝差

被减数－差=减数

减数＋差=被减数
5、减法竖式

借位减法：

乘法运算

1、乘法是指将相同的数加起来的简便方式。其运算结果称为积，“×”是乘号。
2、求一个数的几倍：用这个数与倍数相乘。
3、求一个数的几分之几：用这个数与分数相乘。
4、表达形式：

乘数×乘数＝积

一个乘数＝积÷另一个乘数
5、注意：现行课本中，只说“乘”不说“乘以”。要注意和除法中“除”和“除以”区分。

例如：3×7=21 读作三乘七等于二十一
6、乘法口诀表
     7、乘法竖式运算

除法运算

1、已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。

2、若xy=z（y≠0）,用积数z和因数y来求另一个因数x的运算就是除法，写作z÷y，读作z除以y（或y除z）。其中，z叫做被除数，y叫做除数，运算的结果x叫做商。

3、把一个数平均分成几份，求其中的一份用除法。

4、求一个数是另一个数的几倍用除法。

5、求一个数占领一个数的几分之几用除法。

6、表达形式

被除数÷除数=商

被除数÷商＝除数

除数×商=被除数

注意：

当除法运算有余数时，存在下面的形式：

被除数÷除数=商……余数

除数×商＋余数=被除数

其中余数不大于除数

7、a与b的和除以c的余数（a、b两数除以c在没有余数的情况下除外），等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

8、a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。

注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

9、除法的竖式运算形式

两个运算规律

1

除法的商不变

被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

与分数的基本性质类似

例如：200÷50=20÷5；（同时除以10）

0.36÷0.2=36÷20（同时乘100）

2

乘法的积不变

如果一个因数乘几，另一个因数则除以几，那么它们的积不变。

（在乘法运算中，给一个乘数扩大n倍，给另一个乘数缩小相同的倍数，乘积不变。）

例如：250×0.4=25×4；

0.125×80=12.5×0.8

简便运算

1

运算定律

加法交换律：两个数相加,交换加数的位置,和不变.

用字母表示为：a＋b=b＋a

加法结合律：三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.

用字母表示为：a＋(b＋c)=(a＋b)+c

乘法交换律：两个数相乘,交换因数的位置,积不变.

用字母表示为：a×b=b×a

乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,积不变.

用字母表示为：a×(b×c)=(a×b)×c

乘法分配律：两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,结果不变.

用字母表示为：a×(b＋c)=(a×b)+（a×c）

减法运算律：被减数连续减两个数，等于减去这两个数的和。

用字母表示为：a－b－c=a－（b＋c）

除法运算律：被除数连续除以两个数，等于除以这两个数的乘积。

用字母表示为：a÷b÷c=a÷（b×c）

2

乘除互化

（1）A÷0.1=A×10

（2）A×0.1=A÷10

（3）A÷0.2=A×5

（4）A×0.2=A÷5

（5）A÷0.5=A×2

（6）A×0.5=A÷2

（7）A÷0.01=A×100

（8）A×0.01=A÷100

（9）A÷0.25=A×4

（10）A×0.25=A÷4

（11）A÷0.125=A×8

（12）A×0.125=A÷8

符号是相反的；两个数相乘得“1”

3

求近似数的方法

（1）四舍五入法。

       这是最常用的求近似数的方法。当省略的尾数的最高位上的数是4或比4小的时候，就把尾数舍去；当省略的尾数最高位上的数是5或比5大时，把尾数去掉后，要向前一位进1.

例如：（46000≈5万，613000≈61万）

（2）进一法。

在实际生活中，有时把一个数的尾数省略后，不管尾数最高位上的数是几，都要向它的前一位进一。用进一法得到的近似数总比准确值大。

例如：150个苹果装箱子，每只箱子能装20个 。需要多少箱自才能把苹果装完？

150÷20=7.5

需要箱子8个。

（3）去尾法。

在实际生活中，有时把一个数的尾数省略后，不管尾数最高位上的数字是几，都不要向它的前一位进一。用去尾法得到的近似数总比准确值小。

例如：“把485张纸订成每本50张的本子，最多可订多少本？”

485÷50=9.7

从这道题不难看出，订成9本后，所剩不足50张，不够一本的，因此要把尾数舍去。

4

积与因数、商与被除数的比较

第2个因数>1,积>第1个因数；

第2个因数=1,积=第1个因数；

第2个因数<><>

除数>1，商<>

除数=1，商=被除数；

除数<1，商>被除数；

数量关系

单价×数量=总价

总价÷数量=单价

总价÷单价=数量

速度×时间=路程

路程÷时间=速度

路程÷速度=时间

工作效率×工作时间=工作总量

工作总量÷工作时间=工作效率

工作总量÷工作效率=工作时间

速度和×相遇时间=路程

路程÷相遇时间=速度和

路程÷速度和=相遇时间

顺水速度=船速+水流速度

逆水速度=船速-水流速度

船速=(顺水速度+水流速度)÷2

水流速度=(顺水速度-水流速度)÷2
售价=成本+利润(成本=售价-利润，利润=售价-成本)
利润率=利润/成本=(售价-成本)/成本=售价/成本-1
售价=成本×(1+利润率)，成本=售价/(1+利润率)
打折率=现售价/原售价×100%，打几折=打折率×10，折扣率=1-打折率

追及距离=速度差×追及时间

追及时间=追及距离÷速度差

速度差=追及距离÷追及时间

和差问题

（和+差）÷2=大数

（和－差）÷2=小数

和倍问题

和÷（倍数-1）=小数

小数×倍数=大数

和－小数=大数

差倍问题

差÷（倍数-1）=小数

小数×倍数=大数

小数＋差=大数

三、方程与代数式

用字母表示数字

1、在一个含有字母的式子里，数字和字母、字母和字母相乘时，中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。在省略数字与字母之间的乘号时，要把数字写在字母的前面。

2、2a与a²意义不同：2a表示两个a相加，a²表示两个a相乘。即：2a=a＋a，a²= a×a。

3、用字母表示数：

（1）用字母表示任意数：如x=4   a=6

（2）用字母表示常见的数量关系：如s=vt

（3）用字母表示运算定律：如a＋b=b＋a

（4）用字母表示计算公式：S=ah

方程与等式

     1、含有未知数的等式叫做方程。

2、使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

3、求方程的解的过程，叫做解方程。

4、方程和等式的联系与区别：

联系：方程一定是等式，等式不一定是方程

区别：方程含有未知数；等式不一定含未知数。

5、等式的基本性质（一）

等式两边同时加上（或减去）一个相同的数，所得结果仍然是等式。

6、等式的基本性质（二）

等式两边同时乘（或除以）一个不等于零的数，所得结果仍然是等式。

7、列方程解应用题的一般步骤：

（1）弄清题意，找出未知数并用X表示。

（2）找出应用题中数量间的相等关系，并列出方程。

（3）求出方程的解。

（4）检验或验算，写出答案。

四、比与比例

比和比例

1、比和比例的联系与区别

2、比和分数、除法的联系与区别

3、求比值与化简比的区别

4、化简比：

（1）整数比的化简方法是：用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。

（2）小数比的化简方法是：先把小数比化成整数比，再按整数比化简方法化简。

（3）分数比的化简方法是：用比的前项和后项同时乘以分母的最小公倍数。5、比例尺：我们把图上距离和实际距离的比叫做这幅图的比例尺。

6、比例尺=图上距离︰实际距离

7、常用除法、比、分数、小数、百分数互化

正比例和反比例

1、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。

2、用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示他们的比值（定值），那么正比例关系可以用y：x=k表示

3、正比例关系中两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，比值不变。例如：汽车的时速一定，所行驶的路程与所用时间成正比例。

4、在判断相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的；量虽然也是一种量随另一种的变化而变化。但是它们相对应的比值不是定值，那么它们就不能成正比例关系。例如：一个人的年龄和他的体重。正方形的边长和他的面积。

5、反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。

 6、用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（定值），那么正比例关系可以用x×y=k表示 

7、反比例关系在除法运算中：当被除数一定，除数和商成反比例关系；

8、反比例关系在分数中：当分子一定，分母和分数值成反比例关系；

9、反比例关系在购物中：当总价一定，单价和数量成反比例关系；

10、正比例与反比例的区别： 

相同点：

①正比例和反比例都含有三个数量。其中均有两个变量和一个不变量（定值）

②在正、反比例的两个变量中，均是一个两变化，另一个量也随之变化。

不同点

①正比例中的不变量是两个变量中对应的两个数的比值；反比例的不变量则是两个变量相对应的两个数的乘积。

②正比例图像是上升的直线；反比例是曲线。

③表达公式不同正比例是x/y=k；反比例是x×y=k；

④变化规律不同：正比例是一个数缩小，另一个数也缩小。一个数扩大，另一个数也扩大。

反比例是一个数缩小，另一个数扩大。一个数扩大，另一个数缩小。