电流电压“均方根值”为何是有效值？

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1何为有效值？

从热等效原理定义有效值。让交流电与直流电分别通过同一电阻，若两者在相同的时间内所消耗的电能相等（或产生的焦耳热相同），那么该直流电的数值就叫做交流电的有效值。

2何为均方根？

含义说明：

从数学的角度定义AC波（交流信号）的有效电压值或电流值。英语写为：Root Mean Square（RMS）均方根。RMS是定义AC波有效值的一种最普遍的数学方法。

RSM(Root Mean Square)在美国传统词典的定义为：The square root of the average of squares of a set of numbers.

即：将N个项的平方和除以N后开平方的结果，即均方根的结果。

公式：

这种数学表示为什么就是信号的有效值呢？一下是简单的高等数学分析：

设信号的峰值表达式为U_MAX，同时该信号的有效值为U_RMS，负载为R。那么用这两种信号值计算一个周期内的做功如下：

3有效值与均方根的关系

有效值从正真意义上定义了AC信号等效为直流信号的值，而均方根只是最一般的结果表达式而已。其作用也不大。

如果要计算任意一个周期信号的有效值还是要从热等效原理出发，利用极限求和以及定积分的知识去，求解等效的直流信号值即有效值。

4有效值与均方根的计算

4.1   计算的核心思想

对于一般信号有效值的定义：“时变量的瞬时值在给定时间间隔内的均方根值。对于周期量，时间间隔为一个周期。”

4.2   正弦波有效值推导的一般方法

从定义出发计算有效值，即，交流电与直流电分别通过同一电阻，若两者在相同的时间内所消耗的电能相等（或产生的焦耳热相同），那么该直流电的数值就叫做交流电的有效值。

信号功率在时间上的积累即为信号做的功

用定积分计算交流信号在负载R上一个周期内做的功。他就等于一个直流量（有效值）在负载R上一个周期内做的功。

4.3正弦波有效值推导的常用方法

计算需要采用定积分运算，当信号为sinx时，计算他的有效值，应该进行如下运算：

求(sinx)^2在-π~π范围内的定积分。

用积化和差公式可得：(sinx)^2=1/2-cos2x/2

显然,在-π~π区间内,cos2x/2的定积分为0

而1/2的定积分为π

下一步进行平均运算：

π除以区间长度2π等于1/2

下一步进行开方运算：

1/2开方,得到√2/2.

5常见信号的有效值与峰值的关系

当正弦波的峰值为Vp时，他的有效值为Vp/（√2）。

当正弦波的峰峰值为Vpp时，他的有效值为Vpp/（2√2）。

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