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从很大程度上可以这么说。 数学公理是从大量事实中总结出来的，或者可以说它是被定义出来的，所以数学公理是数学推理的起点，就像数学中的“宪法”一般，数学必须要遵循相应的规则。 举个简单的例子，欧几里得所著《几何原本》就是数学公理化的典范。它用5条公设与5条公理(近代数学不再区分公设与公理)再加上23条定义，就构建起了整个古典欧式几何学。其中著名的第五公设，也就是:如果平面内一条直线与另两条直线相交，若所得同侧两内角之和小于180°，则这两条直线一定相交。历史上众多数学家致力于“证明”它，然而均无功而返，这直接导致了非欧几何的诞生。这也从侧面说明了在相应的公理体系下，公理不仅不需要被证明，而且也证明不了，因为公理是独立出来的东西。 后来的研究进一步发现:只要实数系统是相容的，那么欧式几何公理系统与非欧几何公理系统也会是相容的，而实数系统的相容与否又会归结为集合论系统相容与否。然而我们知道集合论中有罗素悖论的存在，这也就说明我们整个数学体系的逻辑不是完美无缺的。而集合论却能构建起整个经典数学体系，即使不完美，很多时候数学家们却不得不暂时承认它。 甚至连公理都可能是有争议的，比如选择公理:设A是由非空集合所构成的集合，那么可以从每一个A中中的集合中选择一个元素和其所在的集合组成有序对来构成一个新的集合。从这个看起来似乎显然正确的公理出发可以得到数学中许多重要结论，然而Banach却利用选择公理把一个三维实心球分解后又组成了两个和原来一模一样大的球！这显然不符合我们的认知规律，但如果我们不承认选择公理，那么我们的数学发展又显然会裹足不前。 所以我们可以这样说:数学大厦是由数学公理所构建起来的，但这样的基础并不是完全稳固的，甚至是有裂缝的。简而言之，现行公理体系下的数学是不完美的。 |
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