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高中数学 | 《随机事件的概率》典型例题

 太极混元天尊 2018-03-29

1、指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件。

1)某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军;

2)一个三角形的大边对的角小,小边对的角大;

3)如果,那么

4)某人购买福利彩票中奖。

答案:1)(4)是随机事件,(2)是不可能事件,(3)是必然事件


2、在下列试验中,哪些试验给出的随机事件是等可能的?

1)投掷一枚均匀的硬币,“出现正面”与“出现反面”;

2)一个盘子中有三个大小完全相同的球,其中红球、黄球、黑球各一个,从中任取一球,“取出的是红球”“取出的是黄球”“取出的是黑球”;

3)一个盒子中有四个大小完全相同的球,其中红球、黄球各一个,黑球两个,从中任取一球,“取出的是红球”“取出的是黄球”“取出的是黑球”。

解:1)中给出的随机事件“出现正面”与“出现反面”是等可能的。

2)中给出的三个随机事件:“取出的是红球”“取出的是黄球”“取出的是黑球”,由于球的大小、个数相同,因此这三个事件是等可能的。

3)中给出的随机事件:“取出的是红球”“取出的是黄球”“取出的是黑球”,由于三种球的数量不同,因此这三个事件不是等可能的。


3、5副不同的手套,甲先任取一只,乙再任取一只,然后甲又任取一只,最后乙再取一只,求下列事件的概率:

1A={甲正好取到2只配对手套}

2B={乙正好取到2只配对手套}

解:1A含基本事件数:① 先取一双,方法数为;② 将取到的一双放到第一、三位,分法数为2;③ 在余下的8只手套中,任取2只放到二、四位,分法数为,由分步计数原理,A含基本事件数为,故

2B含基本事件数:① 先取一双,放到二、四位,分法数为;② 在余下的8只手套中任取2只放到一、三位,分法数为。由分步计数原理,B含基本事件数为,故


4、12345五个数字中,任意有放回地连续抽取三个数字,求下列事件的概率。

1)三个数字完全不同;

2)三个数字中不含15

3)三个数字中5恰好出现两次。

解:从五个数字中,任意有放回地连续抽取三个数字,相当于完成这件事分三步,每步从5个元素中均取出一个元素,有5种不同方法,因此共有5×5×5=125种不同的结果(相互独立的基本事件)。

1)三个数字完全不同,相当于第一步有5种方法,第二步有4种方法,第三步有3种方法,故共有5×4×3=种,所以三个数字完全不同的概率为

2)三个数字中不含15,相当于每次只能从其他三个数字中有放回地取出一个数字,故共有种,因此所求概率为

3)先研究第一次5,第二次5,第三次非5的方法数,相当于第一次取5,第二次取5,第三次取非5,共有1×1×4=4种不同方法,所以恰有2次取5的方法数为种,所以三个数字中5恰好出现两次的概率为

5、箱中有个正品,个次品,从箱中随机连续抽取3次,在以下两种抽样方式下:

1)每次抽样后不放回;(2)每次抽样后放回,求取出的3个全是正品的概率。

解:1)若不放回,抽样3次看作有顺序,则从个产品中,不放回抽样3次,共有种方法。从个正品中不放回抽样3次共有种方法,可以取出3个正品的概率,若不放回,抽样3次看作无顺序,则从个产品中,不放回抽样3次,共有种方法。从个正品中不放回抽样3次共有种方法,可以取出3个正品的概率,两种方法结果一致。

2)从个产品中有放回的抽取3次,每次都有种方法,所以共有种不同的方法,而3个全是正品的抽法共有种,所以3个全是正品的概率


6、甲、乙两人参加普法知识竞答,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲、乙两人依次各抽一题,问:甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?

解:甲、乙依次抽一题的可能结果有个,其中甲抽到选择题、乙抽到判断题的可能结果有个,所以概率


7、在两个袋中各装有分别写着数字0123456张卡片,今从每个袋中任取1张卡片,求取出的两张卡片上数字之和恰为7的概率。

解:基本事件是组成的数对,有(个)

事件A是两卡片数字和为7,有(25)、(34)、(43)、(524

所以


8、012,……,9这十个数字中随机地接连取5个数字,方式为每取一个记录结果放回,并按其出现的先后次序排成一排,求下列事件的概率。

1A1={五个数字排成一个五位偶数}

2A2={五个数字排成一个五位数}

3A3={五个数字中0恰好出现三次}

解:1)组成五位偶数的方法是万位有9种填法、千位、百位和十位均有种填法,个位有5种填法,故含有基本事件数,所以

2含基本事件种,故

3)先选三个位置放“0”有种方法,其余两位置非“0”,故有种方法,所以含有个基本事件,


9、一个口袋中有5个均匀的白球和3个均匀的黑球,现从中任取2个球。问:(1)取到的全为黑球的概率;(2)取到的全为白球的概率;(3)取到一个白球一个黑球的概率;(4)取到至少一个白球的概率;(5)取到至多一个白球的概率;(6)取到两球同色的概率;(7)这6个事件中概率之间有无什么关系?

解:设六个事件分别记为ABCDEF,则

1

2

3

4

5

6

7)其中


10、设有个人,每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间专住(),求下列事件的概率:(1)指定的个房间各有一个人住;(2)恰好有个房间,其中各住一个人。

解:1)由于每个人都会等可能地被分配到N个房间中的任意一间专住,所以每人都有N种分法,由分步计数原理知,个人共有“”种分配法,对于已指定的个房间,各住1人,即个人的全排列,有种住法,于是指定的个房间各有一个人住的概率为

2)恰好有个房间,这个房间可以在N房间中任意选取,有种选法,对于每种选定的个房间各住1人,有种分配方法,于是恰有个房间其中各住一个人的概率为

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