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在中考数学中，提到动点问题，总会让很多学生感到头痛不已，一方面此类题型是中考数学的热点和必考题型之一，另一方面此类题型综合性强、难度大，题目变化多端，解法灵活，造成很多学生得分率较低，成为中考数学一个重难点。 动点问题最大的特点就是以运动的点、线段、变化的角、图形的面积等为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的函数关系或是其他关系；或变量在一定条件下为定值，进行相关的计算和综合解答，解答此类题型，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解。 考生无法准确解答动点问题，关键在于不能从题目中挖掘必要的信息、条件、关系式等，无法从“动”中找“静”，从而造成解题困难。 同时，动点问题就像一个“箩筐”，很多知识内容都可以往里面装，如与二次函数结合就形成函数动点综合问题，或是与几何内容结合，就形成几何动点综合问题等。这些题型各个都是中考数学的热点和难点，在全国很多地方的中考数学试卷中都是以压轴题的形式出现。 为了能更好帮助大家应付中考数学复习，今天我们就一起来讲讲与函数有关的动点综合问题。 在初中数学知识范围内，我们主要学习到三大函数，分别是一次函数、反比例函数、二次函数。三大函数虽然定义不一样，但本质是一样，那就是我们把在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一、与一次函数相关的动点问题 一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。 典型例题分析1： 如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1），点D是线段BC 上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=x/2+b交折线OAB于点E． （1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段0A上时，且tan∠DEC=1/2．若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由． 考点分析： 一次函数综合题；综合题． 题干分析： （1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化． 解题反思： 本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度． 二、与反比例函数相关的动点问题 一般地，函数y=k/x（k是常数，k≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y=kx-1的形式。自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 典型例题分析2： 如图，一次函数y＝k1x＋b的图象经过A（0，－2），B（1，0）两点，与反比例函数y=k2/x的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 考点分析： 反比例函综合问题；探究型。 题干分析： （1）根据一次函数y＝k1x＋b的图象经过A（0，－2），B（1，0）可得到关于b．k1的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M（m，n）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入y＝2x－2求出m的值，由M（3，4）在双曲线y=k2/x上即可求出k2的值，进而求出其反比例函数的解析式； （2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP可求出∠PMD＝∠MBD＝∠ABO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，进而可得出结论。 解题反思： 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到的知识点为用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式．锐角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键。 三、与二次函数相关的动点问题 一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。 y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式。 典型例题分析3： 如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点， （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围； （3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E．F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 考点分析： 二次函数综合题。 题干分析： （1）根据抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，代入解析式求出即可； （2）由（1）配方得y=（x+2）2﹣1，利用函数平移①当抛物线经过点C时，②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，分别分析求出； （3）由点E．F的坐标分别为（m，m2），（n，n2），得出m+n=km·n=﹣3，利用作点E关于y轴的对称点R（﹣m，m2），作直线FR交y轴于点P， 由对称性知∠EFP=∠FPQ，此时△PEF的内心在y轴上，求出即可． 解题反思： 此题主要考查了二次函数的综合应用以及三角形内心的特点，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合以及分类讨论是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握。 考生面对动点综合问题，首先心理上不要去害怕，学会从题型上找方法，找解题突破口。 动点综合问题之所以会难，主要在于它能把很多知识内容结合在一起，形成不同类型的动点综合问题，如今天讲的函数动点综合问题。如果你想要在中考数学中拿到此类题型的分数，就要把一次函数、反比例函数、二次函数的知识概念，图象与性质等，彻底掌握好，提高分析问题和解决问题的能力，这样才能在中考中战胜动点问题，取得高分。 |
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