抛物线型
来源:新浪了凡春秋的博客 在科学技术各领域中,有很多问题都可以归结为偏微分方程问题。在物理专业的力学、热学、电学、光学、近代物理课程中都可遇见偏微分方程。偏微分方程,再加上边界条件、初始条件构成的数学模型,只有在很特殊情况下才可求得解析解。随着计算机技术的发展,采用数值计算方法,可以得到其数值解。 下面的几个简单例子,将为大家介绍如何利用Matlab中的PDE工具箱进行偏微分方程的求解! 抛物线型 受热金属块的热传导问题: 一块受热的有矩形裂纹的金属块。金属块的左侧被加热到100℃,右侧热量则以恒定速率降低到周围空气的温度,所有其他边界都是独立的,于是边界条件为: 初始温度为0℃。指定起始时间为0,研究5s的热扩散问题。 求解结果如下: 具体步骤:
注意到金属块的温度升高很快,可试着改变时间列表的表达式为logspace(-2,0.5,20)以便观察。 双曲线型 方形薄膜横向波动问题(波动方程): 薄膜左侧和右侧固定(u=0),上端和下端自由: 满足边界条件的初值为: 求解结果如下: 具体步骤:
本征值型 L形薄膜的特征值和特征函数: 计算所有特征值<>u=0。 结果中的两种模态如下: 具体步骤:
非线性问题 单位圆盘的最小表面问题: 计算域为单位圆盘,边界条件为 本问题为非线性问题,不能用常规的椭圆型方程求解器进行求解,而需要使用非线性求解器pdenonlin。 结果如下: 具体步骤:
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