高考数学:数学压轴题的意图

今天我们一起来看2016年全国I卷理科数学压轴题的第1问:

先求导函数及其零点

此方程有没有解取决于a的符号，下面对a的符号进行分类讨论

紧接着，我们研究两个极限值

画出函数f(x)的草图如下

由图可知，函数f(x)有两个零点，符合题意。

由上可知，函数f(x)只有一个零点。

我们又遇到新的问题，就是两根的大小关系不确定，为此需要进一步讨论。

由上图可知，此时f(x)只有一个零点，不符合题意。

由上图可知，此时f(x)只有一个零点，不符合题意。

还有最后一种情况要讨论:

为满足f(x)有两个零点，在x=ln(-2a)处的函数值必须为0。

我们通过计算验证这种情况是否能发生。

所以，这种情况也不符合题意。

综上所述，满足题意的a的取值范围为a>0。

下面介绍方法2:分离参数法

从方法1我们能看到，分类讨论的方法非常繁杂，需要解题人具备深厚的数学功底。

为避开讨论，我们采用分离参数的方法，当然，每种方法都有自己的难处，我们在后面会讲到。

下面研究函数g(x)的相关性质。

由导函数能够研究函数g(x)的单调性。

下面我们研究函数g(x)的零点。

显然x=2是函数g(x)的零点。

为准确画出函数g(x)的图象，我们还需要研究几个极限值。

前面2个极限值比较好理解，第3个极限值我们多解释一下。

结合上述性质，我们能够画出函数g(x)的图象:

为使得原函数有两个零点，则函数y=g(x)与函数y=a有两个交点，如上图所示，则a的取值范围是a>0。