孤独的质数与我们的信用卡支付密码

百眼通 2018-04-13

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畅享理财人生 · 共度悦读时光READING TIME

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作者：史蒂夫·斯托加茨

现为康奈尔大学应用数学系名誉教授，是一位颇有声望的教师，也是世界上观点被引用最多的数学家之一，他经常担任美国国家公共广播电台“广播实验室”栏目的嘉宾，还为《纽约时报》撰写“数学的要素”在线专栏。

在《x的奇幻之旅》中，世界级数学家、《纽约时报》专栏作者史蒂夫·斯托加茨，将引领我们踏上一段领略最伟大的数学思想的赏心悦目之旅。沿途你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式与数学共舞。不管你是否喜欢数学、了解数学，每个人的生活却都离不开数学，相信读完这本启迪智慧又妙趣横生的书后，不少人会从此爱上数学，重新发现和欣赏数学之美，成为“数学发烧友”。今天分享第八期：孤独的质数与我们的信用卡支付密码。

一首20世纪60年代的美国老歌唱道：“1是最孤独的数字，2也好不到哪里去。”我想，在孤独的问题上，质数应该算是一个需要特殊关注的群体了。

保罗·焦尔达诺写过一本畅销书《质数的孤独》。《质数的孤独》是一部悲伤的爱情小说：马蒂亚和爱丽丝是两个像质数一样孤独的社会边缘人。因为不幸的童年，两人几乎失去了和别人交流沟通的能力。但是在彼此破碎的灵魂里，他们却找到了共鸣和救赎。在这本书里，作者这样写道：

质数只能被1和它自己整除。质数和其他数字一样，排在无穷无尽的自然数里，几乎被相邻的两个数字挤扁，虽然被挤压着，却又藏着一种格格不入的孤独。质数永远是可疑的、不合群的孤独者，所以马蒂亚喜欢质数。有时候，马蒂亚觉得质数一定是误入了某种陷阱，才会被囚禁在自然数的序列里，就像珍珠被囚禁在项链里，永远无法逃离。有时候，马蒂亚又觉得也许质数最大的愿望就是变成一个普通的自然数，和别的数字一样正常，不再那么格格不入，但是，这个愿望永远不可能实现……

大学一年级的时候，马蒂亚学到这样一个知识点：质数中还有一些更为特殊的数字，数学家们称之为“孪生质数”。每一对孪生质数的位置相差不远，几乎可以说是邻居，但它们之间却总会插进一个偶数，硬生生把它们隔开。比如11和13、17和19、41和43都是孪生质数。如果你继续观察下去，就会发现孪生质数变得越来越少。越来越多孤立的质数，存在于这个寂静的谜一样的空间里。越观察，你越会产生一个绝望的预感：之前发现的那些孪生质数也许只是偶然的巧合，而孤独、彻底的孤独，才是一个质数真正的宿命。但是，就在你准备放弃，觉得再也没有必要继续观察下去的时候，你又会碰到一对孪生质数，它们紧紧地依偎在一起，对抗着周围的冰冷和绝望。数学家们相信，不管你观察到哪里，前方一定还有更多的孪生质数，虽然没有人知道，下一对孪生质数会出现在哪里，但我们总会找到它们。

马蒂亚觉得，他和爱丽丝就是一对孪生质数。他们都很孤独，他们同样迷失在这个冰冷的世界里，他们是彼此唯一的安慰，但他们之间仍隔着不可逾越的障碍，他们永远无法真正地紧挨着彼此。

在这里，我觉得有必要挖掘一下这段悲伤的文字里提到的那些美丽的思想：特别是质数的孤独和孪生质数的宿命。这些问题是数论里的核心问题。数论的研究对象是整数和整数的性质。数论一直被认为是“最纯粹”的数学领域。

在我们走进数论这个令人呼吸困难的领域之前，先让我们讨论一个问题。很多实用主义者都会问：数论到底有什么用处？数论的实际应用主要表现在加密算法中。数论的性质决定了它是密码学的基础。每天，加密算法保护着我们的个人信用卡的网上支付功能，也保护着每个国家的军事机密。这种算法依赖于一个特殊的性质：一个巨大数字的质因数是非常难以求得的。

但是，数学家们迷恋质数并不是出于这个原因。对于数学家们来说，质数的魅力在于它们具有“基本的重要性”。质数之于算数，就好比原子之于物理。

原子（atom）一词的希腊语词根是atomic，意思是“不能被切开、不可分割”。在物理学知识中，所有的物质都是由原子构成的；在数学知识中，所有的数字都可以被分解成质数。比如，60=2×2×3×5。我们可以说，60是一个合数，2、3、5是它的质因数。

那么，1这个数字怎么办？1是质数吗？它不是。当你理解了1为什么不是质数，你就会真正理解那首老歌的真谛：1真的是世界上最孤独的数字，它比质数还要孤独。

从道理上来说，我们不应该把数字1从质数的队伍中孤立出来。既然数字1只能被1和它本身整除，它不就应该是一个质数吗？实际上，数字1确实曾经被当成质数，而且数字1当质数的时间也不短。但是，现代数学却决定把数字1从质数的队伍中赶出去，这一举动只是为了方便起见。如果数字1是质数的话，有一个定理就无法成立，但是人类需要这个定理，我们一定要让这个定理成立。换句话说，为了达到自己的目的，为了得到我们想要的定理，人类操纵了质数的定义，无情地把数字1赶了出去。

什么定理这么重要？这个定理就是：任何数都能以唯一的方式被分解成几个质数的乘积。如果我们承认1是质数，那么“唯一的”这三个字就不再成立。比如说，6可以分解成2×3，也可以分解成1×2×3，还可以分解成1×1×2×3，诸如此类。只要数字1是质数，质因数分解的方式就不唯一。这听起来很可笑，但是如果数字1是质数的话，确实很不方便。

这个故事揭示出数学的真正面目。有时候我们会幼稚地认为，人类是先发明出定义，然后把这些定义刻在石头上，再根据这些板上钉钉的定义来推导定理。其实，数学的真正面目并非如此。这种方法太过消极。人类才是数学的“主人”，定义是依据人类的意愿拟定的。尤其是当一个小小的改变就能让定理变得更严密的时候，我们才不会在乎数字1的感受！

好了，现在数字1已经被我们从船上扔下去了，让我来看看还在船上的诸位吧。在人类对质数的了解中，最重要的一点是什么呢？那就是质数是如此神秘、费解和古怪。没有任何人发现过质数的通项公式。与物理中的原子不同，质数不服从任何简单的规律，我们发现了“元素周期表”，却研究不出一张“质数周期表”。

前10个质数就足够给我们一个“下马威”了：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。首先，第一个数字2已经很神奇了：它很边缘，是所有质数中唯一的偶数。难怪歌里会唱：“1是最孤独的数字，2也好不到哪里去。”

除了数字2之外，其他质数都是奇数，但它们也很莫名其妙。看看每两个质数之间的距离：有时是2（比如5和7），有时是4（比如13和17），有时是6（比如23和29）。

为了理解质数到底有多神奇，我们看看基本的奇数：1、3、5、7、9、11、13……相邻奇数间的距离永远是2，比鼓点还要准。所以，奇数可以用一个很简单的通项公式来表达，第n个奇数是2n－1。而质数呢？它们无组织、无纪律，毫无规律可言。

由于相邻质数间的距离很不规律这一现象，数学家们决定不再冥思苦想单个质数出现的规律，而是用统计学的方法，把质数当成一个整体来看。比如，我们来看一看质数在整数中究竟是如何分布的：小于等于10的质数有多少个？小于等于100的质数有多少个？小于等于任意整数N的质数又有多少个？要回答这些问题，需要用到一个统计学上的概念：累积分布。

想象我们沿着数轴行走，一边走一边数质数，就像搞人口普查的时候挨家挨户地走访一样。质数站在数轴上，我们从1开始，一直向右走，手拿计数器，看见一个质数就按一下计数器。这个计数器的读数变化如下图所示。

横轴是你在数轴上的位置，纵轴是此时你手中计数器的读数，也就是小于等于x的质数的个数，当x小于2，y的值是0，因为暂时还没有找到任何质数。当我们走到数字2，就找到了一个质数。所以，计数器的读数为数字1，上图的函数出现一个跳跃。然后，函数值又保持不变，直到我们走到数字3的位置，此时函数值又上移1格。这个函数的特征就是：持平、突增、持平、突增、持平、突增……最后，我们看到的是一个奇怪的楼梯，台阶忽高忽低。这个函数被数学家们称为“素数计数函数”。

请把这个奇怪的函数和下图的“奇数计数函数”对比一下。

奇数所形成的楼梯是非常正常的，每个台阶都一样高，顺着一条斜率为1/2的直线一路攀升。这是因为相邻奇数间的距离永远是2。

不得不说，质数实在是太过奇特。既然质数如此奇特，它们到底还有没有什么规律可循呢？奇怪的是，质数的分布还是有一定规律的。要找到这个规律，我们应该暂时忘记高高低低的台阶给我们带来的不快，专心看看这个楼梯的“走势”。如果我们把素数计数函数的图像缩小，我们会慢慢地看到一条比较光滑的曲线。下图是小于等于100的质数的计数函数。

与之前的图相比，台阶的高低不平看起来没有那么明显了，如果我们再看看小于等于10亿的质数的计数函数，这条曲线还会变得更加平滑一些。

上图的函数图像看起来像一条直线，但其实它并不是一条直线。随着这个函数的向上爬升，爬升的速度在以微小的速率减小。这说明，随着数字越来越大，质数变得越来越稀疏。也许，所谓质数的孤独，就是越往高处走越孤单、越疏离，俗话说得好：高处不胜寒。

随着数字越来越大，质数变得越来越稀疏。这个性质从图像上来看并不明显，但是换一个角度就能看得很清楚。在前30个正整数中，我们可以找到10个质数，也就是每3个正整数里就存在一个质数，质数的比例可达33%。而在前100个正整数中，一共有25个质数，每4个正整数里就有一个是质数，质数的比例下降到了25%。那么，前1亿个正整数里质数占多大比例呢？答案是： 5%。

这条看似笔直的曲线里，有着质数苍凉的命运：它们是越来越少的“濒危”物种。当然，质数不会在某一点后完全消失；沿着数轴一直向右，总还是会找到更大的质数——这一点欧几里得早已告诉了我们。质数是无穷的，但它们却越变越少，越变越稀疏。我们沿着数轴向右走得越远，就越难看到质数的身影。

通过拟合质数的计数函数，数论学家把质数的“孤独度”度量了出来。质数的“孤独度”由相邻两个质数之间的距离来表示，如果N是一个非常大的数，那么N附近两个相邻质数间的平均距离是lnN，即N的自然对数。

相邻质数间的平均距离是lnN。在N比较小的时候，这个公式很不准确，但随着N的增大，这个公式会变得越来越精确。当N趋于无穷大的时候，这个公式的误差百分比就会趋近于零。为了有一个更直观的认识，我们代入一些具体的数字。当N=1 000的时候，小于等于1 000的质数有168个，所以1 000以下相邻质数的平均距离是1 000/68，大约为5.9。而我们的公式lnN给出的预测值则是ln（1 000）≈6.9。也就是说，当N取1 000的时候，这个公式的误差很大，公式的预测值比实际值高17%。但当N非常大的时候，例如我们取N= 1 000 000 000，此时质数间平均距离的实际值和公式给出的预测值分别是19.7和20.7，预测值只比实际值高5%。

当N趋于无穷大，lnN这个公式就可以准确地预测相邻质数间的平均距离，这个结果叫作素数定理。1702年，德国著名数学家卡尔·弗里德里希·高斯首次发现了这个定理（但是，当时并未以论文形式发表这个结论），那时的高斯只有15岁。（看，在没有游戏机的年代，一个孩子的学术研究能力有多强！）

而本章中提到的另外两个少年——马蒂亚和爱丽丝，则以另一种方式告诉我们质数的美。我希望你可以感受到孪生质数的神奇之处。随着数字的增大，孪生质数虽然越来越稀少，却仍能坚持“存在于这个寂静的谜一样的空间里”，这种凄美简直要让我潸然泪下。你知道这有多不容易吗，一切都对它们很不利。根据素数定理，大数N附近相邻质数间的平均距离在lnN左右（N的数值很大的时候，lnN远大于2），在这样的条件下，还能有只隔一个数的孪生质数存在，这实在是一件非常神奇的事情。

是的，总有一些感天动地的爱情可以战胜命运。在数轴延展至极远的位置，计算机仍然帮我们找到了真爱无敌的孪生质数。目前已知的最大一对孪生质数，它们各有100 355位。

孪生质数猜想告诉我们，这样的数字永远不会消失。

但是，是否能在它们附近找到另一对孪生质数？我们只能看运气了。

目录

前言

第1部分数字

第1章数学：从企鹅的“鱼”订单到无穷大

第2章一组组石头与加减乘除运算

第3章 “敌人的敌人就是朋友”与“负负得正”法则

第4章交换律：7×3与3×7都等于21

第5章无理数：除法带给我们的困惑

第6章从笨拙的罗马数字到美妙的阿拉伯数字