在几何学发展的历史长河中,许多经久不衰的几何名题,犹如一颗颗闪烁的明珠,璀璨夺目,光彩照人,推动着几何学乃至整个数学的发展。 它们中有的从一发现就吸引着人们的关住,有的经过几代甚至几十代数学家的努力,得出许多耐人寻味,发人深省的结论。 一些背景深刻,内涵丰富的几何名题更是令高考命题者如痴如醉地探骊寻珠,经过他们不断构造,移植,特殊化,解析化等手段,编拟出形式优美、风格独特的高考题,让经典名题不断闪烁出真理的光辉,把几何学点缀得更加美妙,更加富于情趣。 本文集之翡翠,汇其精华,从近几年高考试题中搜寻出几类由几何名题衍生出的解析几何试题,期望能对激发读者的数学兴趣,丰富数学素养,培养数学能力有所裨益。 1 阿波罗尼(Apollonius)圆 典型考题 背景展现 阿波罗尼(Apollonius,260-190BC),出生于古希腊的小亚细亚南岸的佩尔加,青年时代的阿波罗尼曾客居亚历山大城,追随欧几里德(Euclid,330-275BC)的学生学习数学。阿波罗尼对圆锥曲线有深刻的研究,其主要成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书。他与阿基米德(Archimedes,287-212BC),欧几里德(Euclid,330-275BC)被称为亚历山大时期的三巨匠。 试题链接 以下的高考题均是以阿波罗尼圆为背景: 值得指出的是,阿波罗尼圆在各种版本的的教材中都以例题的形式呈现,如人教版《平面解析几何》(必修)的第68页例题, 阿波罗尼圆尤其为各级各类的数学竞赛命题者所青睐,有兴趣的读者可参考文[1]。 2 米勒问题 典型考题 背景展现 几何史上有一个著名的米勒(Joannes,miiller)问题: 米勒(Joannes,miiller),德国数学家,1471年,他向诺德尔(Christion,roder)教授提出了如下有趣问题:在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长(即可见角最大),在他的诞生地法兰克王国哥尼斯堡,称这个问题为雷奇奥莫塔努斯(Reqiomon tan us)极大值问题,此问题作为载入世界数学史上100个著名极值问题,从而引人注目。 米勒问题有很多实际应用,如欣赏一幅画的最佳视角,沿边线踢足球的最佳射门点等。 试题链接 3 蝴蝶定理 典型考题 背景展现 这是一道设计新颖别致,赏心悦目的题目,从整个图形的形状特点上看,和谐优美,酷似一只美丽蝴蝶。 1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》上刊登了如下问题: ![]() 这个问题的图形恰似一只翩翩起舞的蝴蝶,所有人给出了一个美妙动听的名称——蝴蝶定理。该名称首次出现在1944年2月美国《数学月刊》上的同名文章。蝴蝶定理的条件简单而随意,但结论令人惊异,引起众多数学家和数学爱好者的广泛兴趣。 时至今日,人们不仅发现了蝴蝶定理60多种论证,而且还给出了定理的各种变形与推广。值得一提的是,1983年中国科技大学单墫博士给出了一个简捷的解析法证明。这些年来,研究者不乏其人,使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖息不定,变化多端。 事实上,这只美丽的蝴蝶早在2003年就“飞”进了高考题中。 试题链接 ![]() 显然,2008年江西卷和2003年北京卷的这两道考题分别是蝴蝶定理在抛物线和椭圆中的推广,至此,我们完全有理由猜想,这只美丽的蝴蝶完全也可以“栖居”于双曲线上,事实上,我们有如下更一般的结论: ![]() 4 费尔玛点 典型考题 ![]() 背景展现 本题的背景是著名的费尔玛(Fermat)问题: ![]() 至此费尔玛问题得到解决。 费尔玛(Fermat,1601-1665)是法国数学家,早年学法律,后来当律师,是一位社会活动家,他酷爱数学,把全部业余时间用在数学研究上,他在微积分,解析几何,概率论和数论等领域都作了开创性贡献,同笛卡尔(Descartes,1596——1650))一同被列为解析几何的奠基人,同时也是微积分的先驱者之一。 上述问题,是费尔玛1640年前后向意大利物理学家托里折里(Torricell,1608-1647)提出的,托里折里用多种方法解决了它。为了纪念这位伟大的业余数学家,这个问题中所求的点被人们称为费尔玛点。 由费尔玛点引出的数学竞赛题屡见不鲜,参见文[3]。 5 塞瓦定理 典型考题 ![]() 背景展现 本题背景是平面几何中著名的赛瓦(Ceva)定理: ![]() 塞瓦(Ceva,1648-1734)是意大利几何学家,水利工程师,上述定理载于它的《关于直线》一书中,他用纯几何方法和基于静力学规律证明了这一结论,并把它和自己重新发现的梅涅劳斯(Menelaus,约公元98年)定理一同发表而流传至今。 此题若隐去直角坐标,还原成平面几何原型。其平几背景为: ![]() 6 圆幂定理 典型考题 ![]() 本题蕴含的背景是平面几何中的圆幂定理:经过一定点作两直线与定圆相交,则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等,即它们的积为定值。这里我们把相切看作相交的特殊情形,切点看作两交点的重合。 ![]() 它包括相交弦定理,切割线定理和割线定理三种形式,圆幂定理从发现至今已有两千多年的历史,其中相交弦定理和切割线定理被欧几里得(Euclid,330-275BC)编入他的《几何原本》第三篇的第35个和第36个命题。 ![]() |
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