第2炼充分条件与必要条件
一、基础知识
1、定义：
（1）对于两个条件，如果命题若则则称条件能够推出条件记为充分条件与必要条件如果条件满足则称条件是条件的充分条件条件是条件的必要条件若则若则能推出但推不出则称是的充分不必要条件推不出但能推出则称是的不条件能推出且能推出记为则称是的充要条件也称等价推不出推不出则称是的既不充分也不必要条件，构造命题若则为真命题所以若则还有可能为所以不能推出综上是的充分不必要条件就可以得到结论而不需要再添加任何说明与补充以上题为例对于条件不需再做任何说明或添加任何条件就可以得到对是充分的而反观对由要想得到还要补充一个前提不能取那既然还要补充则说明是不充分不成立，那么必然不为想得到也是远远不够的还需要更多的补充条件所以仅仅是必要的(,那么条件“”是”的什么条件？
由(可得到，且推不出所以”是”充分不必要条件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个集合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下：
①(：是的充分不必要条件是的必要不充分条件：是的充分条件：是的充要条件中满足的取值集合为而满足的取值集合为(，进而判断出是的充分不必要条件”的充分必要关系可从命题的角度进行判断例如是的充分不必要条件则命题若则为真命题根据四类命题的真假关系可得其逆否命题若则也为真命题所以是的充分不必要条件，则是的，解得，即或即所以，进而是的，那么是的（）
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
思路：本题若觉得不方便从条件中直接找到联系可先从一个条件入手推出其等价条件再进行判断比如”等价于所以只需判断与的关系即可根据的单调性可得如果则但是若在大于零的前提下才有而题目中仅说明所以不能推出综上可判断的充分不必要条件推中因为是条件成立要求推中是条件且对取值没有特殊要求所以那么作为结论的就不一定有意义了在涉及到变量取值时要首先分清谁是条件谁是结论作为条件的一方默认式子有意义所以会对变量取值有一定的影响，如果是的的取值范围是，因为是的(，利用数轴可而判断出
例4：下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是B.C.D.
思路：求的充分不必要条件则这个条件能够推出且不能被推出可以考虑验证四个选项可以推出而不一定能够得到比如所以A符合条件对于BC两个选项均不能推出A所以直接否定而D选项虽然可以得到但是也能推出所以D是A的充要条件不符题意，则”是“”的，的解集与的取值有关若则若则观察条件若则所以成立若则通过数轴观察区间可得的取值为多个比如”是“”的充分不必要条件，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
思路：如果是奇函数，图像关于原点对称，则中位于轴下方的部分沿轴对称翻上来恰好图像关于轴对称但轴对称未必能得到是奇函数例如的图象关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件
答案：B
例7：已知，则”是”的右可以举出反例则不成立所以左边无法得到右边而右左能够成立所以”是”的必要不充分条件
思路二：本题也可以运用集合的思想，将视为一个点的坐标则条件所对应的集合为作出两个集合在坐标系中的区域观察两个区域，所以”是”的必要不充分条件
答案：B
例8（2015菏泽高三期中考试）：设条件：实数满足条件实数满足且是的必要不充分条件则实数的取值范围是，写出再利用条件关系运算尽管可行但容易书写错误所以优先考虑使用原条件是的必要不充分条件等价于是的必要不充分条件为两个不等式所以考虑求出解集再利用集合关系求解，可解得，
设可解得，
是的必要不充分条件是的必要不充分条件
答案：
例9：数列满足则”是数列成等差数列的时可得即成等差数列”是数列成等差数列的充分条件另一方面如果成等差数列则成等差数列所以有代入可得，解得或经检验时，利用数学归纳法可证得则也为等差数列符合题意从而由数列成等差数列”，所以“”是数列成等差数列的条件，则是的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
思路：因为，所以故由可得即对于能否推出可考虑寻找各自等价条件，，通过数形结合可以得到符合的的集合是的集合的子集所以的必要不充分条件，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2、（2014南昌一模，3）设为向量，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
若，则“成立”是“成立”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
（2014，北京）设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
（2014上海13校联考，15）集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
（2015，福建）“对任意的，”是“”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
（2014北京朝阳一模，5）在中，，，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
（2014湖北黄冈月考，4）已知条件条件：直线与圆相切，则是的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
(2014陕西五校二模，1）命题且满足.命题且满足.则是的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（2015北京理科）设是两个不同的平面，是直线且．则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件”是“”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
习题答案：
1、答案：B
解析：从集合的角度来看，满足条件的取值范围是或，所以可知“”是“”的必要不充分条件
2、答案：C
解析：的夹角为，从而等价于
答案：C
解析：由不等式性质可知：，则即，反之若，则即
答案：D
解析：若的项均为负项，则“”，“为递增数列”之间无法相互推出，所以两条件既不充分也不必要
答案：B
解析：，，因为，由数轴可得：即可
答案：B
解析：左侧条件中恒成立不等式可化为，设，可知，所以若为减函数，则一定有成立。考虑，由可得：，故时，成立，所以为减函数，成立。所以使不等式恒成立的的范围包含，而，故“对任意的，”是“”的必要不充分条件
答案：B
解析：由正弦定理可得：，所以或，均满足题意，由两条件对应集合关系可知“”是“”的必要不充分条件
答案：C
解析：从入手，若与圆相切，则解得，所以
的解；，可知两个集合相等故
“”无法得到“”但“”可推出“”，设，且，则。当时，可得，从而在单调递减，，即不等式恒成立。所以若“”，则“对任意”；而“对任意”，未必能得到“”（不等式也成立），所以为“必要不充分条件”
第一章 第2炼充分条件与必要条件集合与逻辑
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