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第4炼求函数的值域
作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。
一、基础知识：
1、求值域的步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）
（3）计算出函数的值域
2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。若为单调函数则在边界处取得最值临界值的解析式中可将关于的表达式视为一个整体通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式在连续且可求出的最大最小值则的值域为连续的前提下才可用最值来解得值域）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域
（2）二次函数（）：二次函数的图像为抛物线通常可进行配方确定函数的对称轴然后利用图像进行求解
解：
对称轴为
（3）反比例函数：
（1）图像关于原点中心对称
（2）当
当
①解析式特点：的系数为
注：因为此类函数的值域与相关求的值时的系数为再去确定的值，并不能直接确定而是先要变形为再求得
③极值点坐标：
④定义域：
⑤自然定义域下的值域：
（5）函数：注意与对勾函数进行对比
①解析式特点：的系数为
②函数的零点：
③值域：
（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况可根据图像求得值域在自然定义域下的值域为（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况可根据图像求得值域在自然定义域下的值域为
（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）
二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现
1、换元法：将函数解析式中关于的部分表达式视为一个整体并用新元代替将解析式化归为熟悉的函数进而解出值域的某个表达式有关那么自然将这个表达式视为研究对象：此类问题通常以指对三角作为主要结构在求值域时可先确定的范围再求出函数的范围：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项所以可利用换元将解析式转为的形式然后求值域即可当然要注意有些解析式中的项不是直接给出而是可作转化例如可转化为从而可确定研究对象为的值域是（）
A.B.C.D.
思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。
解：的定义域为，则
的值域为的值域为B.C.D.
（2）函数的值域为的值域为的形式所以可将指数进行换元从而转化为指数函数值域问题令则所以可得，将视为一个整体，则可将其转化为二次函数求得值域
令
的值域为的形式所以求得的范围再取对数即可对进行变形可得，从而将视为一个整体即可转为反比例函数从而求得范围
令
答案：（1）B（2）（3）
例3：已知函数，则的值域为B.C.D.
思路：依题意可知，所以可将视为一个整体换元从而将问题转化为求二次函数值域但本题要注意的是的定义域由已知的定义域为则的定义域为，解得，而不是
解：
的定义域为且，解得
令，则
，即的值域为的函数的图像，从而利用图像求得函数的值域
（3）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式
例4：（1）设函数定义域为对给定正数定义函数为的，则的值域为B.C.D.
（2）定义为中的最小值设则的最大值是为分界线图像在下方的图像不变在上方的图像则变为通过作图即可得到的值域为的定义将转为分段函数则需要对三个式子两两比较比较繁琐故考虑进行数形结合将三个解析式的图像作在同一坐标系下则为三段函数图像中靠下的部分从而通过数形结合可得的最值点为与在第一象限的交点即所以例5：已知函数，设其中表示中的较大值表示中的较值的值域为的值域为则思路由的定义可想到其特点即若将的图像作在同一坐标系中那么为图像中位于上方的部分而为图像中位于下方的部分配方可得，其中故的顶点在顶点的上方由图像可得褐色部分为的图像红色部分为的图像其值域与的交点有关，所以的值域的值域
答案
例6：（1）函数的值域为的值域为是与定点连线的斜率那么只需在坐标系中作出在的图像与定点观察曲线上的点与定点连线斜率的取值范围即可是与定点连线的斜率
，当时恒成立为增函数
设曲线上两点定点
（2）思路：，所以可视为点到点距离和的取值范围结合图形可利用对称性求出其最小值且当动点向轴两侧运动时其距离和趋向无穷大进而得到值域
为动点到点距离和即点关于轴的对称点（等号成立条件共线或时
函数的值域为，所以找到了一个共同的动点（2）3、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性（增、减）即可快速求出函数的值域
（1）判断函数单调性的方法与结论：
①增增增减减减
增减减可拆成则若的单调性相同则单调递增若的单调性相反则单调递减的导数则单增单减或则要估计当或时函数值是向一个常数无限接近还是也或即函数图象是否有水平渐近线的，则要确定当时的值是接近与一个常数即临界值还是趋向或即函数图象是否有竖直渐近线这样可以使得值域更加准确的值域为B.C.D.
（2）函数的值域为B.C.D.
（3）函数的值域为，含有双根式所以很难依靠传统的换元解决问题但的导数较易分析出单调性所以考虑利用导数求出的单调区间从而求得最值
令即解不等式
在单调减在单调递增
的值域为，从而可设由可知所以原函数的值域转化为求的值域从而有由可求得，从而发现所以函数的解析式为为增函数时，所以当时的值域为后即可将函数转为二次函数求值域但不如观察单调性求解简便，为分式且含有根式求导则导函数较为复杂观察分子分母可知且关于单减且关于单增即单减所以为减函数由可知的值域为，则当均为增减函数且恒大于为增减函数
4、方程思想：本方法是从等式的角度观察函数，将其视为一个含参数的关于的方程由函数的对应关系可知对于值域中的任一值必能在定义域中找到与之对应的在值域中的方程在时只要有一个根从而将求值域问题转化为取何值时方程有解的问题利用方程的特点即可列出关于的条件进而解出的范围即值域的值域为（）
A.B.C.D.
（2）函数的值域为的二次方程为参数，因为函数的定义域为所以的取值要求只是让方程有解即可当方程为无解当时二次方程有解的条件为即得到关于的不等式求解即可可得
函数的定义域为的取值只需让方程有解即可时不成立故舍去时
即：
综上所述：函数的值域为
小炼有话说：①对于二次分式，若函数的定义域为，则可像例取何值时方程有解然后利用二次方程根的判定得到关于的不等式从而求解这种方法也称为判别式法，而是一个限定区间例如那么如果也想按方程的思想处理那么要解决的问题转化为取何值时方程在有根对于二次方程就变为了根分布问题但因为只要方程有根就行会根的个数进行比较复杂的分类讨论或的形式考虑去分母得则的取值只要让方程有解即可观察左侧式子特点可想到俯角公式从而得到可知方程有解的条件为，解出的范围即为值域的定义域为
，即其中
小炼有话说：本题除了用方程思想，也可用数形结合进行解决，把分式视为连线斜率的问题从而将问题转化为定点与单位圆上点连线斜率的取值范围作图求解即可运用方程思想处理的局限性在于辅角公式与的取值相关，所以均能保证只要在中则必有解但如果本题对的范围有所限制则用方程的思想不易列出的不等式所以还是用数形结合比较方便
以上为求值域的四种常见方法，与求函数的理念息息相关，有些函数也许有多种解法，或是在求值域的过程中需要多种手段综合在一起解决。希望你再遇到函数值域问题时，能迅速抓住解析式的特点，找到突破口，灵活运用各种方法处理问题。
例9：已知函数的值域为则的取值范围是B.C.D.
思路：本题可视为的复合函数函数的值域为结合对数函数的性质可知应取遍所有的正数定义域可不为即若函数的值域为则由二次函数的图像可知当时可满足以上要求所以解得
例10：在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数也称高斯函数表示不超过的最大整数例如，设函数则函数的值域为B.C.D.
思路：按的定义可知若要求出则要将确定里面的范围的值域则要知道的范围为偶函数所以只需找到的值域即可，，即成立所以为奇函数只需确定的范围即可中的分式进行分离常数可得，当时，从而所以由，可得，再利用偶函数性质可得时。当时，所以综上所述的值域为轴对称的两部分值域相同的情况为奇函数从而只需计算的范围再利用奇函数性质推出的范围所以在求函数值域时若能通过观察或简单的变形判断出函数具备奇偶的性质则解题过程能够达到事半功倍的效果的奇偶性时很难直接看出之间的联系但通过通分，奇偶性立即可见在求的范围时利用的形式分式较为复杂分子分母均含变量不易确定其范围但通过分离常数得到则非常便于求其范围由以上的对比可知在判断奇偶性或者分式的符号时通常一个大分式较为方便
2、对勾函数：
3、函数：注意与对勾函数进行对比
二、分式函数值域的求法
请看下面这个例子：
求的值域的结果再加上的范围再得到值域
问题不难，但观察可发现：，所以当遇到的函数为总可以将分子的每一项均除以分母从而转化为进行求解由此得到第一个结论的函数总可以变换成转化为反比例函数进行求解
思路：本题分母为表达式，比较复杂，但如果视分母为一个整体（进行换元），则可将分式转化成为的形式从而求解
，进而可求出值域
注：换元法是求函数值域时，通过将含有变量的一部分式子视为一个整体，用一个变量表示，进而将陌生的函数化归成熟悉的模型求解，这也是求函数值域时变换解析式的重要方法。
由上例，我们可以总结出第二个结论：
对于形如（分子分母均为一次的分式的函数通过换元可转化为的形式进而用反比例函数进行求解
解：函数为对勾函数，作图观察可发现极值点在定义域中故最小值为而最大值在中产生故值域为你是否会求呢记住图像是你最好的帮手，那么是否可以仿照上面得到第三个结论的函数可通过的形式进而可依靠的图像求出值域
解：设，
（极值点：）
第四个结论：
形如的函数可通过换元将问题转化为第三个结论然后进行求解呢）即可化归为上面呢，从而转化为上面例子总可通过一系列变换转化为前面所介绍的三个函数模型进行求解：换元→→反比例函数模型：换元→→模型：同时除以分子→②的模型：分离常数→③的模型
共同点：让分式的分子变为常数
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