【备战期末】八年级数学上册期末复习要点（苏教版）

第一章 三角形全等

一、全等三角形的定义

1、全等三角形：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 

 

2、理解：

（1）全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；

（2）一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；

（3）三角形全等不因位置发生变化而改变。

 

二、全等三角形的性质

1、全等三角形的对应边相等、对应角相等。 

理解：

（1）长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；

（2）对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

2、全等三角形的周长相等、面积相等。

3、全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

 

三、全等三角形的判定

1、边角边公理(SAS)  有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

2、角边角公理(ASA)  有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

3、推论(AAS)  有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

4、边边边公理(SSS)  有三边对应相等的两个三角形全等。

5、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

 

四、证明两个三角形全等的基本思路

1、已知两边：

（1）找第三边（SSS）；

（2）找夹角（SAS）；

（3）找是否有直角（HL）。

2、已知一边一角：

（1）找一角（AAS或ASA）；

（2）找夹边（SAS）。

3、已知两角：

（1）找夹边（ASA）；

（2）找其它边（AAS）。

第二章 轴对称

一、 轴对称图形

  相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。

 

二、 轴对称的性质

1、轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线。

 

三、线段的垂直平分线

1、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 

2、判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

3、拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。

 

四、角的角平分线

1、性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 

2、判定定理：到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。

3、拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。

 

五、等腰三角形

1、性质定理：

（1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一）。 

2、判断定理：

一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。（等角对等边）。

 

六、等边三角形

1、性质定理：

（1）等边三角形的三条边都相等。

（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°。

2、拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质。

3、判断定理：

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。 

（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

 

七、直角三角形推论

1、直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

3、拓展：直角三角形常用面积法求斜边上的高。

 

第三章 勾股定理

一、基本定义

1、勾：直角三角形较短的直角边 

2、股：直角三角形较长的直角边 

3、弦：斜边

 

二、勾股定理

1、定理：

   直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a²＋b²＝c²。

 

三、勾股定理的逆定理

1、定理：

如果三角形的三边长a，b，c有关系a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。

 

三、勾股数

1、定义：

满足a²＋b²＝c²的三个正整数，称为勾股数。

 

2、常见勾股数：

3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13。 

 

四、简单运用

1、勾股定理——常用于求边长、周长、面积:

理解：

（1）已知直角三角形的两边求第三边，并能求出周长、面积。     

（2）用于证明线段平方关系的问题。

（3）利用勾股定理，作出长为的线段。

 

2、勾股定理的逆定理——常用于判断三角形的形状:

理解：

（1）确定最大边（不妨设为c）。

（2)若c²＝a²＋b²，则△ABC是以∠C为直角的三角形。

（3)若a²＋b²＜c²，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）。

（4）若a²＋b²＞c²，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）。     

(5)难点：运用勾股定理立方程解决问题。

 

第四章 实数

一、平方根

1、定义：一般地，如果x²=a(a≥0)，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

2、表示方法：正数a的平方根记做，读作“正、负根号a”。

3、性质：

（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

（2）零的平方根是零。

（3）负数没有平方根。 

 

二、开平方

1、定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

  

三、算术平方根

1、定义：

一般地，如果x²=a(a≥0)，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 

2、表示方法：

记作，读作“根号a”。

3、性质：

①一个正数只有一个算术平方根。

②零的算术平方根是零。

③负数没有算术平方根。 

4、注意的双重非负性：

    

5、

 

四、立方根

1、定义：

一般地，如果x³=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。

2、表示方法：

记作，读作“三次根号a”。

3、性质：

（1）一个正数有一个正的立方根。

（2）一个负数有一个负的立方根。

（3）零的立方根是零。

4、注意：

  ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

5、

五、开立方

1、定义：

求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。

 

六、实数定义与分类

1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

  理解：常见类型有三类

  （1)开方开不尽的数：如等。

  (2)有特定意义的数：如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等。

  (3)有特定结构的数：如0.1010010001……等；(注意省略号)。

2、实数：

  有理数和无理数统称为实数。

3、实数的分类：

（1）按定义来分

（2）按符号性质来分

七、实数比较大小法理解

1、正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。

2、数轴比较：数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大。

3、绝对值比较法：两个负数，绝对值大的反而小。

4、平方法：a、b是两负实数，若a²＞b²，则a＜b。

 

八、实数的运算

1、六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方。

2、实数的运算顺序：

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

3、实数的运算律：

加法交换律、加法结合律 、乘法交换律、乘法结合律 、乘法对加法的分配律。

九、近似数

1、定义：

     由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。

2、四舍五入法：

取近似值的方法——四舍五入法。

 

十、科学记数法

1、定义：

 把一个数记为科学计数法。

 

十一、实数和数轴

1、每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。

2、实数与数轴上的点是一一对应的关系。

 

第五章 平面直角坐标系

一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。

 

二、平面直角坐标系及有关概念

1、平面直角坐标系：

（1）定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。

（2）坐标轴：其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。

（3）原点：它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

（4）坐标平面：建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

2、象限：

（1）定义：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

（2）注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。

 

3、点的坐标的概念：

（1）对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。

（2）点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

（3）平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。

（4）平面内点的与有序实数对(坐标)是一一对应的关系。

 

4、不同位置的点的坐标的特征:

（1）各象限内点的坐标的特征：

①点P(x,y)在第一象限：x>0,y>0； 点P(x,y)在第二象限：x0,y>0。

②点P(x,y)在第三象限：x0,y0； 点P(x,y)在第四象限：x>0,y0。

 

（2）坐标轴上的点的特征：

①点P(x,y)在x轴上：y=0，x为任意实数。

②点P(x,y)在y轴上：x=0，y为任意实数。

③点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上：即是原点坐标为（0，0）。

 

（3）两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：

①点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上：x与y相等。

②点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线（直线y=-x）上：x与y互为相反数。

 

（4）和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：

①位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

②位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

 

（5）关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征：

①点P与点p’关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）。

②点P与点p’关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）。

③点P与点p’关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）。

 

（6）点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

①点P(x,y)到x轴的距离等于|y|。

②点P(x,y)到y轴的距离等于|x|。

③点P(x,y)到原点的距离等于。

第六章 一次函数

一、函数 

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 

 

二、自变量取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。 

 

三、函数的三种表示法

1、关系式（解析）法：

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。 

2、列表法：

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 

3、图象法：

用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 

 

四、由函数关系式画其图像的一般步骤

1、列表：

列表给出自变量与函数的一些对应值。 

2、描点：

以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点。

3、连线：

按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

 

五、正比例函数和一次函数概念与性质

1、正比例函数和一次函数的概念：

（1）一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。

（2）特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。

（3）正比例函数是特殊的一次函数。

2、一次函数的图像:

所有一次函数的图像都是一条直线。

 

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

（1）一次函数y=kx+b的图像是经过点（0，b）的直线。

（2）正比例函数y=kx的图像是经过原点（0，0）的直线。

 

4、正比例函数的性质：

一般地，正比例函数y=kx有下列性质：

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大。

（2）当k<>

 

5、一次函数的性质：

一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：

（1）当k>0时，y随x的增大而增大。

（2）当k<>。

 

六、正比例函数和一次函数解析式的确定

1、确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数y=kx（k≠0）中的常数k。

2、确定一个一次函数，需要确定一次函数y=kx+b(k≠0)中的常数k和b。

3、解这类问题的一般方法是待定系数法。

4、具体方法：过点必代，交点必联。

 

七、一次函数与一元一次方程的关系

1、任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数(y)值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同。

2、由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值。 

3、从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值。