§247二项式定理——展开式一、杨辉三角形：三、二项式的展开式：二、二项式定理：2.通项公式：1.展开式：3.系数与
二项式系数：前项后项“+”相连展开共有n+1三块组成每一项前降后升和为n注2：注1：计数问题知识网络
复杂的计数问题组合数的性质对称性简单的计数问题排列组合型拆并性增减性可和性计数原理型十大题型计数问题总述：
两理两数四原则十大题型递推法⑤注①：分类加法及分步乘法计数原理：①②③④注④：注②：排列数与组合数：注⑤：设
n元某计数问题共有an种方法若求an的通项公式有难度，可考虑求其递推公式化大为小是共性顾名思义是区分①相邻(
捆绑法)○注③：①先理后数②先组后排③特殊优先④正难则反○○○○⑧错排○②不邻(插空法)○③在与不在④含与
不含⑤至多与至少○○○直接法间接法⑥分组○相同元素不同元素⑦分配○均匀分配非均匀分配二元1种三元2
种四元9种⑩染色○⑨定序○1.分类加法计数原理：2.分步乘法计数原理：完成一件事有n类方式,在第一类方式
中有m1种不同的方法,在第二类方式中有m2种不同的方法……,在第n类方式中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m
2+…+mn种不同的方法完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……,做第n步
有mn种不同的方法那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法先把包含于某内容中的所有对象的数目计算出来3.容斥
计数原理:再把重复计算的数目排斥出去,这种计数的方法共同点不同点说明化大为小是共性顾名思义是区分都是采用“
分”的手法，将大事件化为小事件“分类”是指完成事件共有n类办法每类办法都能独立地完成这件事类似于物理中的并联电路“分步”是
指完成事件共有n个步骤类似于物理中的串联电路每一步都不能独立完成这件事最终结果“分类”用“加法”最终结果“分步”用“乘
法”“分类”要不重不漏；各类间要互斥独立“分步”要连续完整；各步间要关联独立1.阶乘：2.排列数：3.组合数：
注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于证明注2.常用的排列数：注3.常用的组合数：两理两数四原则十大题型递推法排
列与组合的关联：排列可以看作是先取组合，再做全排列先组后排：排列有序，组合无序，可用特值法来验证有无顺序①②
两理两数四原则十大题型递推法①先理后数②先组后排③特殊优先④正难则反两理两数四原则十大题型递推法①相邻——捆
绑法⑧错排：二元1种；三元2种；四元9种……②不邻(相离)——插空法⑥分组相同元素——0-1法不同
元素——公式法⑩染色——递推法⑨定序——倍缩法(等概率法)；插空法两理两数四原则十大题型递
推法③在与不在④含与不含⑤至多与至少特殊优先直接法正难则反间接法——⑦分配均匀分配非均匀分配
先分组后分配1.相邻问题捆绑法：引：相间问题位置法2.不邻(相离)问题插空法：先捆可邻成大
元次变个数全排列先排可邻后插空多元切忌间接法二元可用间接法亮灯空位是变式相邻相离综合体一般解法位置法3.在
与不在4.含与不含5.至多与至少特殊优先直接法正难则反间接法——6.错排：①背诵法：a2=1；a3=2
；a4=9；a5=44……②递推法：①〇②〇9.分配：8.分组：(1)相同元素的分组：参分配(2)不同元素的
非均匀分组：常规法处理(3)不同元素的均匀分组：(4)不同元素的混合分组：(1)不同元素的分配：(2)相同元素的分配(分组
)：①将2n个不同元素均匀的分成2组,共有种分法②将3n个不同元素均匀的分成3组,共有种分法
先均匀后非均匀先分组后分配0—1法7.定序：①倍缩法(等概率法)：②插空法：10.染色问题：(1)条型
域：如图，,用k种颜色染n块区域，相邻…32n1区域不能同色,则共有种染法注
1：染色基础是条型方法多多随爱好从头到尾逐个染乘法原理显神功注2：隐含了颜色有剩余
如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域要求每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，则不同的染色方法有多少种？法2：化环型域为条
型域：注：思路显然，但操作量过大2.环型域：①无心环型域:法1：通项公式：如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域要求每
个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，则不同的染色方法有多少种？法3：环型域递推法：2.环型域：①无心环型域:注：二三环型
点算法四块以上递推法异色插入第一类同色剪开第二类§247二项式定理——展开式一、杨辉三角形：三
、二项式的展开式：二、二项式定理：2.通项公式：1.展开式：3.系数与二项式系数：前项后项“+”相连展开共有n+
1三块组成每一项前降后升和为n注2：注1：①⑧③②④⑥⑤⑦⑩⑨异底幂
同底幂特殊幂幂的运算性质(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+
3ab2+b3(a+b)4=a4+4a4b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a5+5a4b+
10a3b2+10a2b3+5ab4+b5151010511112113
3114641一、杨辉三角形：十三世纪的阿拉伯人就已经发现了：从第二行起，每行除两端的1以外的每一
个数都等于它肩上的两个数的和我国南宋数学家杨辉在十三世纪中叶也发现了此三角形法国数学家帕斯卡在十七世纪对该三角形做过研究——
二项式系数表因它形如三角形，故称它为杨辉三角形故在国外，称其为帕斯卡三角形16152015611
112113311464115101051我国南宋数学家杨辉研究的是递推公式右面的三
角形是帕斯卡发现的，并提出了通项公式瑞士数学家伯努利在十八世纪，证明了该公式二项式系数表三、二项式的展开式：
二、二项式定理：2.通项公式：1.展开式：3.系数与二项式系数：前项后项“+”相连展开共有n+1三块组成每一
项前降后升和为n注2：注1：一、杨辉三角形：(1)的展开式为______原式=注：最终结果
要按升幂或降幂的形式书写原式=原式=另法:(2)课本P：30例1法1：直接展开……求的展开式
法2：先变形，后展开.原式==……参课本法3：原式=(3)课本P：31练习1(4)课本P：36A组Ex1(5)课本P：37A组Ex2(6)课本P：37B组Ex2原式(7)化简_____原式1.《导学案》P：41自我检测4作业：预习：二项式定理及通项公式3.《导学案》P：41针对训练12.《导学案》P：41例1 |
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