三、拆并性：一、对称性：§249组合数的性质二、增减性：左右对称抛物线左增右减中间大四、可和性：系数求和赋值法
方法要熟正负11.2.1.2.拆并要连同上大下＋1计数问题知识网络复杂的计数问题组合数的性质对称性简
单的计数问题排列组合型拆并性增减性可和性计数原理型十大题型计数问题总述：两理两数四原则十大题型递推法⑤注①
：分类加法及分步乘法计数原理：①②③④注④：注②：排列数与组合数：注⑤：设n元某计数问题共有an种方法
若求an的通项公式有难度，可考虑求其递推公式化大为小是共性顾名思义是区分①相邻(捆绑法)○注③：①先理后数②先组后排③
特殊优先④正难则反○○○○⑧错排○②不邻(插空法)○③在与不在④含与不含⑤至多与至少○○○直接法间
接法⑥分组○相同元素不同元素⑦分配○均匀分配非均匀分配二元1种三元2种四元9种⑩染色○⑨定序○1.
分类加法计数原理：2.分步乘法计数原理：完成一件事有n类方式,在第一类方式中有m1种不同的方法,在第二类方式中有m2
种不同的方法……,在第n类方式中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法完成一件
事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……,做第n步有mn种不同的方法那么完成这件事共有N
=m1×m2×…×mn种不同的方法先把包含于某内容中的所有对象的数目计算出来3.容斥计数原理:再把重复计算的数目排斥出去,这
种计数的方法共同点不同点说明化大为小是共性顾名思义是区分都是采用“分”的手法，将大事件化为小事件“分类”是
指完成事件共有n类办法每类办法都能独立地完成这件事类似于物理中的并联电路“分步”是指完成事件共有n个步骤类似于物理中的串联
电路每一步都不能独立完成这件事最终结果“分类”用“加法”最终结果“分步”用“乘法”“分类”要不重不漏；各类间要互斥独立
“分步”要连续完整；各步间要关联独立1.阶乘：2.排列数：3.组合数：注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于
证明注2.常用的排列数：注3.常用的组合数：两理两数四原则十大题型递推法排列与组合的关联：排列可以看作是先取组合，
再做全排列先组后排：排列有序，组合无序，可用特值法来验证有无顺序①②两理两数四原则十大题型递推法①先理后
数②先组后排③特殊优先④正难则反两理两数四原则十大题型递推法①相邻——捆绑法⑧错排：二元1种；三元2种；四元9
种……②不邻(相离)——插空法⑥分组相同元素——0-1法不同元素——公式法⑩染色—
—递推法⑨定序——倍缩法(等概率法)；插空法两理两数四原则十大题型递推法③在与不在④含与不含⑤至多与至少
特殊优先直接法正难则反间接法——⑦分配均匀分配非均匀分配先分组后分配1.相邻问题
捆绑法：引：相间问题位置法2.不邻(相离)问题插空法：先捆可邻成大元次变个数全排列先排可邻后插空多
元切忌间接法二元可用间接法亮灯空位是变式相邻相离综合体一般解法位置法3.在与不在4.含与不含5.至多
与至少特殊优先直接法正难则反间接法——6.错排：①背诵法：a2=1；a3=2；a4=9；a5=44……②递推法：
①〇②〇9.分配：8.分组：(1)相同元素的分组：参分配(2)不同元素的非均匀分组：常规法处理(3)不同元素的均
匀分组：(4)不同元素的混合分组：(1)不同元素的分配：(2)相同元素的分配(分组)：①将2n个不同元素均匀的分成2组,共
有种分法②将3n个不同元素均匀的分成3组,共有种分法先均匀后非均匀先分组后分配
0—1法7.定序：①倍缩法(等概率法)：②插空法：10.染色问题：(1)条型域：如图，,用k种颜色染n块区域，相邻
…32n1区域不能同色,则共有种染法注1：染色基础是条型方法多多随爱
好从头到尾逐个染乘法原理显神功注2：隐含了颜色有剩余如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域要
求每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，则不同的染色方法有多少种？法2：化环型域为条型域：注：思路显然，但操作量过大2.环
型域：①无心环型域:法1：通项公式：如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域要求每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，则不
同的染色方法有多少种？法3：环型域递推法：2.环型域：①无心环型域:注：二三环型点算法四块以上递推法异色插
入第一类同色剪开第二类二项式的展开式前项后项“+”相连展开共有n+1三块组成每一项前降后升和为n注2
：注1：1510105111121133114641杨辉
三角形——二项式系数表①⑧③②④⑥⑤⑦⑩⑨异底幂同底幂特殊幂幂的运算性质二
项式定理——通项公式注1：相关概念：②系数与二项式系数：①项与项数：类似于学号与同学的关系;容斥关系称为二项式系
数注2：上下前后及某项知四有一两头同(中间差)三、拆并性：一、对称性：§249组合数的性质二、增减性：左
右对称抛物线左增右减中间大四、可和性：系数求和赋值法方法要熟正负11.2.1.2.拆并要连同上大下＋1一
、对称性：二、增减性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等1.当n为偶数时，展开式中间的一项取得最大2.当n为
奇数时，展开式中间的两项，相等且同时取得最大1510105111121
133114641杨辉三角形——二项式系数表一、对称性：二、增减性：左右对称抛物线
左增右减中间大左右对称抛物线左增右减中间大(1)对称性的证明：练习1.对称性：法1
：法2：参课本P：25～26(2)课本P：41B组Ex1①解：因，即解得n=6练习2.增减性：(3
)课本P：35练习1①ⅰ:当n为偶数时，展开式中间的一项取得最大ⅱ:当n为奇数时，展开式中间的两项，
相等且同时取得最大(4)在(x-y)7的展开式中,二项式系数最大项是第_____项系数最大项是第______项.析2：
因故系数最大项为第5项析1：二项式系数最大项是第4项和第5项三、拆并性：1.拆并要连同上大下＋1练习3.拆并性：
(5)拆并性的证明：法1：用阶乘式展开……法2：从n+1个元素中取出r+1个元素的组合数是其中
含A元素的组合数是不含A元素的组合数是所以三、拆并性：1.2.拆并要连同上大下＋1(6)析：(7)课本P：4
1B组Ex5法1：等比数列求和公式……法2：由题意得x2的系数是实际上，由
得x2的系数是四、可和性：系数求和赋值法方法要熟正负11.2.练习4.可和性：(8)赋值
法证：证明①：令a=b=1,代入即得证明②：令a=－b=1,代入得即(9)课本P：35练习1②(10)
课本P：35练习1③析：析：作业：预习：二项式定理的应用——求特殊项3.(2013年新课标Ⅰ)设m为正整数，二项式系数的最大值为a，展开式的二项式系数的,则ｍ＝展开式的为b,若A.5 B.6C.7D.81.《固学案》P：9Ex12.《固学案》P：10Ex6最大值 |
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