【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】
第45讲巧妙分类灵活分布解决排列组合问题（理）
考纲要求:
1．理解分类加法计数原理．
2．会用分类加法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
3．理解排列、组合的概念，理解排列数公式、组合数公式，能利用公式解决一些简单的实际问题．
基础知识回顾:
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1m2+…+mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝_____________________种不同的方法．
3．两个原理的区别与联系
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与有关，各个步骤，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成
2．排列与排列数
(1)排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为A.
(3)排列数公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.
A＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝n！，规定0！＝1.
．组合与组合数
(1)组合的定义：一般地，从n个的元素中取m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
(3)组合数公式C＝＝＝.
(4)组合数的性质性C＝C.C＝C＋C(m≤n，nN，mN)．
类型一、两个原理的综合应用
1、涂色问题
例1、如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D4块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有______种(用数字作答)．
解析：从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法．由分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×4＝480种涂色方法．
的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有（）种
A.4080B.3360
C.1920D.720
2、几何问题
例3、如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()
A．48B．18C．24D．36
解析：分类讨论：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36个．
解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有的子集有2n个，真子集有2n－1个．
设集合I＝{1,2,3,4,5}．选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有()
A．50种B．49种C．48种D．47种
在解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系．
(1)分类做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成了任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析．
类型二、解决排列问题常用方法
例5、7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：
（1）甲、乙两人相邻；
（2）甲、乙之间隔着2人；
（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变；
（4）7人中现需改变3人所站位置，则不同排法；
（5）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法；
（6）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法.
解析：（1）捆绑法，甲乙二人互换种，将甲乙当一个人与其他人全排；（2）捆绑法先从甲、乙以外的人中任选人站在甲、乙之间，有种站法，再将甲、乙及中间二人共人看作一个整体参加全排列，有种站法，最后甲、乙进行局部排列，有种站法.根据分步乘法计数原理，知共有种不同站法种插法，第二个人有种插法，第三个人有种插法，根据分步乘法计数原理，知共有种不同站法种方法，如,,,则改变原位置站法有种,,,和,,，故共有种不同的站法；（5）先将人全排，除去甲、乙、丙人的顺序数的排列，故有种站法；（6）固定模型,甲、乙互换有种，甲、乙两人坐法有种，故共有种不同的坐法.
点评：解决排列问题常用方法:
直接法：把符合条件的排列数直接列式计算
优先法：优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中
先整体后局部：“小集团”排列问题中先整体后局部
定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法;正难则反，等价转化的方法
类型三、解决组合问题常用方法
例6、某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4人既会英语又会日语，现要从中选6人，其中3人负责英语导游，另外三人负责日语导游，则不同的选择方法有_______种.
解析：在步骤上可以考虑先选定英语导游，再选定日语导游。英语导游的组成可按只会英语的和会双语的人数组成进行分类讨论，然后再在剩下的人里选出日语导游即可。第一种情况：没有会双语的人加入英语导游队伍，则英语导游选择数为，日语导游从剩下6个人中选择，有中，从而，第二种情况：有一个会双语的人加入英语导游队伍，从而可得，依次类推，第三种情况。两个会双语的加入英语导游队伍，则，第四种情况，英语导游均为会双语的。则，综上所述，不同的选择方法总数为(种)
答案：216种
例7、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队．
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
点评：两类组合问题的解法
(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象.
例8、国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_____种不同的分派方法．
解析：先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90种分派方法．
例9、将位志愿者分成组，每组至少人，至多人分赴第五届亚欧博览会的四个不同展区服务，
不同的分配方案有种（用数字作答）.
解析：由题设人应分成四组,不同的分法种数为,故分赴第五届亚欧博览会展区服务,则不同分配方案有,应填.
3、不等分配
例10、若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有_____种不同的分法．
解决分组分配问题的策略
1．对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
2．对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
3．对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
1、解排列组合综合应用问题的思路：
解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.
2．排列问题与组合问题的识别方法：
若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关
若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关
3、解排列组合题的“24字方针，12个技巧”：
(1)“二十四字”方针是解排列组合题的基本规律：即排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加、分步为乘．
(2)“十二”个技巧是速解排列组合题的捷径．即：
相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定序问题倍缩法；
定位问题优先法；有序分配问题分步法；多元问题分类法；交叉问题集合法；
至少(多)问题间接法；选排问题先取后排法；?局部与整体问题排除法；?复杂问题转化法．
1．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()
A．72 B．120C．144 D．168
解析：先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A·A＝144种，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A·A·A＝24种，于是符合题意的排法共有144－24＝120种．
2．
A.种B.种C.种D.种
3．
A．4种B．10种
C．12种D．22种
解析：根据题意，设在第次传球后（），有种情况球在丙手中，即经过次传递后，球又被传回给丙，而前次传球中，每次传球都有种方法，则前次传球的不同的传球方法共有种，那么在第次传球后，球不在丙手中的情况有种情况，即球在乙或甲手中，只有在这些情况时，在第次传球后，球才会被传回丙，即；易得，则，，，故选B．
4．将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有()
A．12种B．20种C．40种D．60种
选C(排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列A，可得这样排列数有×2＝40种．
.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有_____________种
【答案】420
【解析】四棱锥为.下面分两种情况，即①与同色.各个点的不同的染色方法：点有种；点有；点有种.点有种.共有种不同的方法.
②与不同色讨论.点有种；点有；点有种.与不同色有种；点有种.共有种不同的方法.
综上，共有种不同的染色方法.
6．供暖就要开始，现分配出水暖工去不同的居民小区检查暖气管道，每名工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有种．
7．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)
8．
解析：由五个数组成五位偶数，可分类个位数放0,2,4；当个位是0时；有种，
①若A盒为空：这相当于5个球进入了3个盒子中．
则从剩余的4个盒子中选出3个盒子，使各个盒子中的小球数为3、1、1，方法有
若3个盒子中小球的数量为2、2、1，则有，故此时方法共有240+360=600种．
②若A盒不为空（即放一个球则先把A盒子中放入一个球，方法有5种，
再从剩余的4个盒子中取出2个盒子，放入小球，方法有
综上，放球的方法有600+420=1020种，
9．
（1）选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选；
（2）至多选4名女生，且男生甲和女生乙不同时入选．
解析：（1）选2名男生必须从4名男生中选取，利用组合的知识可知有种选法；选取女生时，对于女生甲优先考虑，先把甲选上，只有一种方法，再从剩下的4名女生中选取2人，可有种方法，利用乘法原理即可得出答案；（2）通过分类讨论，特殊元素优先考虑，利用加法原理和乘法原理即可得出．
试题解析：：（1）从9人中任选5人，其中选2名男生有种选法，3名女生且女生甲必须入选可以这样选：先把甲选上，有种选法，再从剩下的4名女生中选2人的方法有种，根据乘法原理可知选女生的方法共有种方法．由乘法原理可得：选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选的方法为=36种．
10．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？
（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？
解析：（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有（种）
（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．
（3）确定2个空盒有种方法．4个球放进2个盒子可分成两类，第一类有序不均匀分组有种方法；第二类有序均匀分组有种方法，故共有（种）放法．
|
|
