【中考数学】与全等三角形有关的证明与计算

 导读 

与全等三角形有关的证明与计算是中考命题的热点，也是解答诸多几何综合题的关键知识，想要在中考取得好成绩，全等三角形不容小觑。

“七嘴八舌”说考情

陕西、云南说：在解答题中考查，以三角形或四边形为背景，直接证明三角形全等或通过三角形全等证明角相等、线段相等或平行。

河南说：必考内容，但是不单独出题，均在几何解答题中涉及，常在圆的有关证明、几何探究题中作为解题工具进行考查。

安徽说：在几何探究题中考查，以三角形或四边形为背景，证明三角形全等或利用三角形全等证明线段相等。

河北说：考查形式仅2016年单独考查全等三角形的判定，其余年份均为在综合题中考查，利用全等三角形的判定与性质作为解题工具。

山西说：主要考查与三角形、四边形结合来解决有关的线段或角度问题，有时会涉及图形的变换。

说来说去还得练

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1.全等三角形的性质与判定

（1）五种判定方法：

①三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)；

②有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；

③有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；

④有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；

⑤直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)；

（2）相关性质：全等三角形的对应边相等；对应角相等；对应角的角平分线相等；对应边上的高、中线对应相等；全等三角形的周长、面积均相等。

2. 寻找全等三角形的常用方法

①从结论出发，看要证明相等的两条线段或角分别在哪两个可能全等的三角形中；

②从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；

③从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

④若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

3. 构造全等三角形的常用方法

（1）出现角平分线时，有三种常见的添加辅助线的方法：①可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质定理或逆定理构造全等三角形；②可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，构造全等三角形；③可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，分别连接这两点与角平分线上的某点，构造全等三角形。

（2）出现线段的中点（或三角形的中线）时，可利用中点构造全等三角形（常用倍长中线，使延长线段与原中线长相等）。

（3）遇到有两条线段之和等于第三条线段的长，常用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。