人生的有限域—死于决斗的数学天才伽罗瓦

伽罗瓦理论的发展历史

       网络安全依赖于两种技术。一是传统意义上的存取控制和授权，如存取控制表技术、口令验证技术等；二是利用密码技术实现对信息的加密、身份鉴别等。前者从理论和技术上是完全可以攻破的，而后者是有条件的，所以网络安全的核心仍将长期建立在密码学基础之上。椭圆曲线密码体制(ECC: Elliptic Curve Cryptosystem)的安全性依赖于椭圆曲线离散对数问题，是目前已知的公钥体制中强度最高的加密机制。考虑到实现难度以及加密效率，通常选择素域GF(p)、二进制域GF(2n)或最佳扩域(OEF:Optimal Extension Field)等有限域作为ECC的基域，作为实现ECC的先决条件，有限域运算己广泛应用于RSA、ElGamal等著名的公钥密码体制中，在编码理论以及多种签名算法中也大量的应用场景。[1]

       在抽象代数中，域是一种可进行加、减、乘和除运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。域是环的一种。域和一般环的区别在于域要求它的元素可以进行除法运算，这等价于每个非零的元素都要有乘法逆元。同时，在现代定义中，域中元素关于乘法是可交换的。简单来说，域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体，或者反称域。在过去的定义中，除环被称为“域”，而现代意义上的域被称为“交换域”，包含有限个元素的域被称为有限域。

       实际上，域是一个可以在其上进行加、减、乘和除法运算而结果不会超出域的集合。如有理数集合、实数集合、复数集合都是域，但整数集合不是（很明显，使用除法得到的分数或小数已超出整数集合）。

       如果域F只包含有限个元素，则称其为有限域。有限域中元素的个数称为有限域的阶。尽管存在有无限个元素的无限域，但只有有限域在密码编码学中得到了广泛的应用。每个有限域的阶必为素数的幂，即有限域的阶可表示为pⁿ（p是素数、n是正整数），该有限域通常称为Galois域(Galois Fields)，记为GF(pⁿ)。

      当n=1时，存在有限域GF(p)，也称为素数域。在密码学中，最常用的域是阶为p的素数域GF(p)或阶为2m的GF(2m)域。[2]

    上述的Galois域就是伽罗瓦域，是由法国天才数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）于18世纪30年代研究代数方程根式求解问题时引出的。年轻的伽罗瓦是不世出的奇才，作为法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，在他还只有十几岁的时候，就用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，并且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具——群论。它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。

法国天才数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦的一生

       伽罗瓦的一生充满了传奇色彩。遗憾的是，当他在世时，他数学领域的研究成果并未被世人所认知。他曾向法兰西科学院呈送过3篇学术论文，均被退回或遗失：第一篇由于鉴定人柯西的因病缺席而被“遗忘“，第二篇因鉴定人傅立叶的不幸病逝而再次遗失，他第三次送交科学院的论文却又得到了泊松的评价——“完全不能理解”。他曾因与巴黎综合理工大学的主考官发生口角而丢掉了入职的机会，在父亲受到诽谤自杀后，他放弃投身于数学生涯，转而担任辅导教师，却因撰写反君主制的文章而被开除，并且因信仰共和体制而两次下狱。在路易·菲利普复辟的时期，他是一个激进的共和主义者，并因此被逮捕、坐牢。二十岁出狱后，他在一次几近自杀式的决斗中逝世，引起后人种种揣测。[3]

伽罗瓦画像

（图片来源：https://en./wiki/%C3%89variste_Galois）

       伽罗瓦诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王朝的复辟时期，又赶上路易·腓力浦朝代初期，他是共和派的秘密组织“人民之友”的成员，并发誓：“如果为了唤起人民需要我死，我愿意牺牲自己的生命”。

       伽罗瓦敢于对政治上的动摇分子和两面派进行顽强的斗争，年轻热情的伽罗瓦对师范大学教育组织极为不满。由于他揭发了校长吉尼奥对法国七月革命政变的两面派行为，被吉尼奥的忠实朋友，皇家国民教育委员会顾问库申起草报告，皇家国民教育委员会1831年1月8日批准立即将伽罗瓦开除出师范大学。

       1831年5月10日，伽罗瓦以“企图暗杀国王”的罪名被捕，1832年3月16日伽罗瓦获释后不久，年轻气盛的伽罗瓦为了一个舞女，卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗。伽罗瓦非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他不时的中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并且开创了数学的一片新的天地。

       伽罗瓦对自己的成果充满自信，他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性，而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现，辨读这一堆写得很潦草的东西，对他们是有益的。满怀激情地拥抱你。E·伽罗瓦。”

       第二天上午，在决斗场上，伽罗瓦被打穿了肠子。死之前，他对在他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去”。他被埋葬在公墓的普通壕沟内，所以今天他的坟墓已无踪迹可寻。他不朽的纪念碑就是他的著作，由两篇被拒绝的论文和他在死前那个不眠之夜写下的潦草手稿组成。[4] 

       历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨爱情事件的结局，还是伽罗瓦因人生道路的艰难坎坷而选择结束生命的一种方式。但无论是哪一种，一位世界上最杰出的数学家在他20岁时以一场自杀式的决斗离开了这个世界，而他研究数学的时间只有仅仅五年，让人唏嘘。

作者：马宇晨