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芝诺是古希腊数学家，提出了一系列悖论以反驳时间和空间的连续性和变化问题，比较有名的有追乌龟和飞矢不动两个。 古希腊传说中有一位跑的最快的英雄阿基里斯，海洋女神忒提斯和英雄珀琉斯之子。在阿基里斯出生后，忒提斯捏着他的脚踝将他浸泡在冥河斯堤克斯中，使他全身刀枪不入，惟有脚踝被忒提斯手握着，没有浸到冥河水，是他唯一的弱点。在特洛伊战争中被敌人射中脚踝而死。 有一天，阿基里斯遇到了一只乌龟。乌龟对阿基里斯说：别看你跑得快，你永远也追不上我。阿基里斯问为什么呢？乌龟说，你看： 如果阿基里斯在A处，乌龟在B处，同时出发。阿基里斯要追上乌龟，首先要追上乌龟先跑的一段AB，但是在这段时间乌龟也在向前跑，当阿基里斯到达B处时，乌龟已经跑到了C处，还没有追上。虽然此时BC的距离小于AB的距离。 阿基里斯会继续跑BC这一段，但是这段时间乌龟也没闲着，跑到了D处，虽然CD小于BC，但是阿基里斯还是没有追上乌龟。 以此类推，阿基里斯和乌龟之间的距离只能不断缩小，但是永远都不会变为零。综上所述，阿基里斯永远追不上乌龟。 这个悖论的诡辩之处在于：芝诺将一个追及过程分割成无限多份，但是这无限多份的时间和距离之和是有限长。 为了解释这个问题，我们把追及过程画在一个数轴上，并且假设AB之间距离为L，方便起见，设阿基里斯的速度等于两倍乌龟速度。 这样一来，相同时间内阿基里斯运动的距离就是乌龟的两倍。所以阿基里斯走过AB时，乌龟走过的BC段距离为L/2，阿基里斯走过BC时，乌龟走过的CD段长度为L/4... 如果阿基里斯要追上乌龟，需要追及无线多段，将这无限多段加和 我们会发现，随着段数的增加，这个距离约来越接近2L。如果只有两项，那么与2L相差L/2；如果有3项，与2L相差L/4，如果有4项，与2L相差L/8...如果有无穷多项，阿基里斯走过的总距离就等于2L。 同样的，设阿基里斯走过AB段的时间为t，则总时间T等于 芝诺把一段有限的时间和距离分割成了无限多份，是不能得出追不上的结论的。 实际上芝诺的这种做法类似于微积分，将一个过程无限分割，再进行累加，这恰好是微积分的基本思想。分割无限多份后越往后的小段时间和空间越小，称之为无穷小。牛顿和莱布尼茨提出微积分后，人们发现了微积分的重要应用，解决了许多数学和物理的问题。 |
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