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怎么理解芝诺悖论?

2018-04-26  宣城华厦...

芝诺是古希腊数学家,提出了一系列悖论以反驳时间和空间的连续性和变化问题,比较有名的有追乌龟和飞矢不动两个。

古希腊传说中有一位跑的最快的英雄阿基里斯,海洋女神忒提斯和英雄珀琉斯之子。在阿基里斯出生后,忒提斯捏着他的脚踝将他浸泡在冥河斯堤克斯中,使他全身刀枪不入,惟有脚踝被忒提斯手握着,没有浸到冥河水,是他唯一的弱点。在特洛伊战争中被敌人射中脚踝而死。


有一天,阿基里斯遇到了一只乌龟。乌龟对阿基里斯说:别看你跑得快,你永远也追不上我。阿基里斯问为什么呢?乌龟说,你看:

如果阿基里斯在A处,乌龟在B处,同时出发。阿基里斯要追上乌龟,首先要追上乌龟先跑的一段AB,但是在这段时间乌龟也在向前跑,当阿基里斯到达B处时,乌龟已经跑到了C处,还没有追上。虽然此时BC的距离小于AB的距离。

阿基里斯会继续跑BC这一段,但是这段时间乌龟也没闲着,跑到了D处,虽然CD小于BC,但是阿基里斯还是没有追上乌龟。

以此类推,阿基里斯和乌龟之间的距离只能不断缩小,但是永远都不会变为零。综上所述,阿基里斯永远追不上乌龟。


这个悖论的诡辩之处在于:芝诺将一个追及过程分割成无限多份,但是这无限多份的时间和距离之和是有限长。


为了解释这个问题,我们把追及过程画在一个数轴上,并且假设AB之间距离为L,方便起见,设阿基里斯的速度等于两倍乌龟速度。

这样一来,相同时间内阿基里斯运动的距离就是乌龟的两倍。所以阿基里斯走过AB时,乌龟走过的BC段距离为L/2,阿基里斯走过BC时,乌龟走过的CD段长度为L/4...


如果阿基里斯要追上乌龟,需要追及无线多段,将这无限多段加和

我们会发现,随着段数的增加,这个距离约来越接近2L。如果只有两项,那么与2L相差L/2;如果有3项,与2L相差L/4,如果有4项,与2L相差L/8...如果有无穷多项,阿基里斯走过的总距离就等于2L。

同样的,设阿基里斯走过AB段的时间为t,则总时间T等于

芝诺把一段有限的时间和距离分割成了无限多份,是不能得出追不上的结论的。


实际上芝诺的这种做法类似于微积分,将一个过程无限分割,再进行累加,这恰好是微积分的基本思想。分割无限多份后越往后的小段时间和空间越小,称之为无穷小。牛顿和莱布尼茨提出微积分后,人们发现了微积分的重要应用,解决了许多数学和物理的问题。

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