第三节用正交变换化二次型为标准形第六章1.正交变换法2.小结3.思考与练习一、正交变换法定义.定理.使得-- --用正交变换化二次型为标准形的步骤则为正交矩阵,且--例2.求一个正交变换化为标准形,并求正交变换矩 阵.解:把二次型二次型的矩阵为:其特征多项式为:--(1)求的特征值:把第2,3,4列都加到第1列上,有把 第2,3,4行分别减去第1行,有--按第1列展开按最后1行展开,得于是,的特征值为:--(2)求的特征 向量:解方程组得基础解系为:得基础解系为:解方程组将Schmidt正交化得正交向量组:--将单位化得:- -于是,正交矩阵为所以,原二次型在正交变换下可化为标准形:--例3.用正交变换将二次型化为标准形,并求正 交变换矩阵.解:二次型的矩阵为:对应的线性无关的特征向量为--将单位化得:于是,正交矩阵为:所以,原二次型在 正交变换下可化为标准形:--用正交变换化实二次型为标准形(主轴定理),它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的 讨论。即将二次曲线和二次曲面的方程变形(化为标准形方程),选有主轴(正交矩阵的列向量)方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。例如, 画图步骤:(1)令特征值和对应的正交单位特征向量为二次型的矩阵为:用正交变换化实二次型为标准形的应用--所 以,正交矩阵为:且在正交变换x=Ty下,原二次型化为标准形:因此双曲线的图形为以方向为主轴方向的双曲线,即标准位置双曲线的 旋转----图形(如下图所示)。--用正交变换化二次型为标准形的步骤:为正交矩阵。1.求一正交变换 ,将二次型化为标准形,并求正交变换矩阵.解:二次型的矩阵为:--对于特征向量为:对于特征向量为:将单位正 交化得:--于是,正交矩阵为:所以,原二次型在正交变换下可化为标准形:-- |
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