请做：题组层级快练（五十） 第4课时直线、平面平行的判定及性质 …2018考纲下载…
1．以立体几何的定义、公理、定理为出发点认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．请注意近年来高考题由考查知识立体几何试题一般都是综合直线和平面以及简单几何体的内容于一体经常是以简单几何体作为载体全面考查线面关系．课前自助餐
直线和平面平行的判定定理(1)定义：若直线与平面没有公共点则称直线平行平面；(2)判定定理：a；(3)其他判定方法：α∥β直线和平面平行的性质定理＝l
两个平面平行的判定定理(1)定义：两个平面没有公共点称这两个平面平行；(2)判定定理：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行则这3)推论：若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线则这两个平面平行．
两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交那么它们的交线平行．与垂直相关的平行的判定定理(1)a⊥α，b⊥α?a∥b；(2)a⊥α，a⊥β?α∥β.
1．判断下列的结论是否正确．(正确的打“√”错误的打“×”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面那么这两个平面平行．(2)如果两个平面平行那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．
(3)若直线a与平面α内无数条直线平行则a∥α.(4)平行于同一条直线的两个平面平行．(5)若α∥β且直线a∥α则直线a∥β.
答案(1)×(2)√(34)×(5)×
2．(课本习题改编)已知不重合的直线a和平面α若a∥α则a∥b；若a∥α则a∥b；若a∥b则a∥α；若a∥b则b∥α或b上面命题中正确的是________．(填序号)
答案④解析①若a∥α则a平行或异面；②若a∥α则a平行、相交、异面都有a∥b，b?α，a∥α或a
3．考查下列三个命题在“________”处都缺少同一个条件补上这个条件使其构成真命题(其中l为直线为平面)则此条件为________．?l∥α；②；③
答案l解析①体现的是线面平行的判定定理缺的条件是“l为平面α外的直线”即“l它也同样适合②③故填
4．(2018·陕西西安模拟)下列命题正确的是()若直线l⊥平面α直线l⊥平B．若直线l∥平面α直线l∥平面β则α∥β若两直线l与平面α所成的角相等则l若直线l两个不同的点A到平面α的距离相等则l∥α
答案解析对于项垂直于同一直线的两平面互相平行故项正确；对于项若直线l∥平面α直线l∥平面β则两平面可能相交或平行故项错误；对于项若两直线l与平面α所成的角相等则l可能相交、平行或异面故项错误；对于项若直线l上两个不同的点A到平面α的距离相等则直线l与平面α可能相交或者平行故项错误．故选
5．(2017·课标全国Ⅰ文)如图在下列四个正方体中为正方体的两个顶点为所在棱的中点则在这四个正方体中直线AB与平面MNQ不平行的是()
答案解析通解：对于选项如图所示连接CD因为AB∥CD分别是所在棱的中点所以MQ∥CD所以AB∥MQ又AB平面MNQ平面MNQ所以AB∥平面MNQ.同理可证选项中均有AB∥平面MNQ.故选
优解：对于选项设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)连接OQ则OQ∥AB因为OQ与平面MNQ有交点所以AB与平面MNQ有交点即AB与平面MNQ不平行故选
6．在正方体ABCD－A中分别是C的中点求证：平面MNP∥平面A
答案略证明方法一：如图(1)所示连接B
∵P，N分别是D的中点又B
又PN平面A平面A平面A同理：MN∥平面A又PN∩MN＝N平面PMN∥平面A
方法二：如图(2)所示连接AC
∵ABCD－A为正方体又CC平面ABCD
∴AC为AC在平面ABCD上的射影同理可证AC平面A同理可证AC平面PMN.平面PMN∥平面A
授人以渔
题型一线面平行的判定与性质
正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB在AE上各有一点P且AP＝DQ求证：PQ∥平BCE.
【思路】证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理也可利用面面平行的性质．
【证明】方法一：(判定定理法)如图所示．
作PM∥AB交BE于M作QN∥AB交BC于N连接MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB＝BD.又AP＝DQ＝QB.又PM∥AB∥QN＝＝＝＝QN，即四边形PMNQ为平行四边形．又MN平面BCE平面BCE平面BCE.
方法二：(判定定理法)如图连接AQ并延长交BC延长线于K连接EK.
∵AE＝BD＝DQ＝BQ＝又AD∥BK＝＝又PQ平面BCE平面BCE平面BCE.
方法三：(性质定理法)如图在平面ABEF内过点P作PM∥BE交AB于点M连接QM.平面BCE.BE，∴＝又AE＝BD＝DQ＝BQ.＝＝∴MQ∥AD.又AD∥BC平面BCE.又PM∩MQ＝M平面PMQ∥平面BCE.又PQ平面PMQ平面BCE.【答案】略
★状元笔记★
判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β)．
思考题1(2018·福建省高三质检)在如图所示的多面体中四边形ABCD是平行四边形四边形BDEFAE∥平面BFC.
【证明】延长CB到G使BG＝BC连接AG如图．
因为四边形ABCD是平行四边形所以BG∥AD且BG＝BC＝AD.所以四边形ADBG是平行四边形所以AG∥BD且AG＝BD.
又四边形BDEF是矩形所以BD∥EF且BD＝EF.所以AG∥EF且AG＝EF所以四边形AEFG是平行四边形所以AE∥FG.又AE平面BCF平面BCF所AE∥平面BCF.【答案】略
如图四棱锥P－ABCD中＝BC＝点E分别为线段AD的中点与BE交于O点是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面PAD.
【证明】(1)连接EC
因为AD∥BC＝为AD中点所以BC綊AE
所以四边形ABCE是平行四边形所以点O为AC的中点又因为点F是PC的中点所以FO∥AP又FO平面BEF平面BEF所以AP∥平面BEF.
(2)连接FH因为点F分别是PC的中点所以FH∥PD平面PAD平面PAD所以FH∥平面PAD又因为点O是AC的中点点H是CD的中点所以OH∥AD同理OH∥平面PAD又因为FH∩OH＝H所以平面OHF∥平面PAD.又因为GH平面OHF所以GH∥平面PAD.【答案】略
思考题2(2018·沧州七校联考)如图在四棱柱ABCD－A中底面ABCD为直角梯形其中AD∥BC且AD＝2BC＝2AB＝4侧面ABB平面ABCD且四边形ABB是菱形为A1的中点求证：CM∥平面AA
【证明】如图取AD的中点N连接MN
在△ADA中＝ND＝MD所以MN∥A
在直角梯形ABCD中且BC＝＝AN所以四边形ABCN是平行四边形所以AB∥CN.又AB∩AA＝A＝N所以平面AA平面CMN.又CM平面CMNCM∥平面AA【答案】略
题型二面面平行的判定与性质
如图在三棱柱ABC－A中分别是AB的中点求证：
(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA平面BCHG.
【证明】1)因为GH是△A的中位线所以GH∥B又B所以GH∥BC所以B四点共面．(2)因为E分别为AB的中点所以EF∥BC.因为EF平面BCHG平面BCHG所以EF∥平面BCHG.因为A与EB平行且相等所以四边形A是平行四边形．所以A因为A1平面BCHG平面BCHG所以A平面BCHG.因为A＝E所以平面EFA平面BCHG.【答案】(1)略(2)略
【讲评】要证四点共面只需证GH∥BC即可；要证面面平行可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行注意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化．
★状元笔记★
证明面面平行的方法(1)面面平行2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)如果两个平面同时平行于第三个平面那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
思考题3如图所示在正方体ABCD－A中为底面ABCD的中心是DD的中点设Q是CC上的点问：当点Q在什么位置时平面D平面PAO?
【解析】当Q为CC的中点时平面D平面PAO.证明如下：为CC的中点为DD的中点分别为DD的中点又∵D平面PAO平面PAO平面PAO平面PAO平面PAO平面PAO.又D1＝B平面D平面D平面D平面PAO.【答案】Q为CC的中点时平面D平面PAO
如图所示平面α∥平面β点A∈α点B∈β点E分别在线段AB上且AE∶EB＝CF∶FD求证：EF∥β.
【证明】①当AB在同一平面内时由ABDC＝AC平面ABDC＝BD＝CF∶FD又EF②当AB与CD异面时设平面ACD∩β＝DH且DH＝AC平面ACDH＝AC四边形ACDH是平行四边形．在AH上取一点G使AG∶GH＝CF∶FD又∵AE∶EB＝CF∶FD又EG∩GF＝G∴平面EFG∥平面β.平面EFG综上【答案】略
★状元笔记★
(1)在应用面面平行、线面平行的性质时应准确构造平面此处需要利用公理3的有关知识本例中对AB和CD位置关系的讨论具有一定的代表性可见分类讨论的思想在立体几何中也多有体现．(2)本题构造了从面面平行转化为线线平行再通过线线平行的“积累”上升为面面平行然后利用线面、面面平行的定义证明“一个平面内的直线平行于另一个平面”这一结论．本题设计精巧转化目的明确具有一定的代表性．
思考题4如图所示在斜三棱柱ABC—A中点D分别为AC上的点．
(1)当的值等于何值时平面AB；(2)若平面BC平面AB求的值．
【解析】(1)如图所示取D为线段A的中点此时＝1连接A交AB于点O连接OD
由棱柱的性质知四边形A为平行四边形所以点O为A的中点．
在△A中点O分别为AA1C1的中点又∵OD平面AB平面AB平面AB＝1时平面AB
(2)由已知平面BC平面AB且平面A平面BDC＝BC平面A平面AB＝D因此BC同理AD＝＝又∵＝1＝1即＝1.【答案】(1)＝1时平面AB(2)＝1
1．平行问题的转化关系：直线与平面平行的重要判定方法：定义法；②判定定理；③面与面的平行性质．平面与平面平行的主要判定方法：a⊥α，a⊥β?α∥β.各种关系能相互转化特别要关注转化所需条件是什么．可以考虑向量的工具性作用能用向量的尽可能应用向量解决可使问题简化．
5．线、面平行的探索性问题．(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：先猜后证即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件再证明其充分性；把几何问题转化为代数问题探索命题成立的条件．(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在然后在这个假设下进行推理论证如 |
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