高中数学 | 放缩法在数列不等式中的应用

一、裂项相消法

形如…（c为常数）的题型，常要对数列中的通项进行裂项，达到放缩的目的。

例1、在数列中，已知，，求证：…。

分析：由得到，利用递推数列的通项公式求法，可求出数列，故。

证明：对所证式的左边通项进行裂项：

，。

可得不等式：

左边…

。

从而命题得证。

当所证明的式子中出现一些分式积及无理式的形式时，常要用到裂项相消法，对于，以下结论：，，以及 都是常用到的。

二、利用迭乘法分拆

在形如的题型中，可试着将看做数列的前n项之积，利用来拆项。

例2、求证；。

分析：令，则利用对其拆项可得。

证明：。

又∵

（，2，3，…，n），

∴中各项都比对应项大。

因此。

即

本例借用恒等式将进行裂项，然后再证明对应的通项的大小关系而获证。