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数学文化 | 什么是数论?

 山西山阴薛有山 2018-05-04

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数论简介

数论是纯粹数学的分支之一,主要研究整数的性质。

整数可以是方程式的解(丢番图方程)。有些解析函数(像黎曼ζ函数)中包括了一些整数、质数的性质,透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系,并且用有理数来逼近实数(丢番图逼近)。

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数论门类

1.初等数论

初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。此外它也包括了连分数理论和少许不定方程的问题。本质上说,初等数论的研究手段局限在整除性质上。

初等数论中经典的结论包括算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、中国剩余定理、欧拉定理(其特例是费马小定理)、高斯的二次互反律, 勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解法等等。

2.解析数论

借助微积分及复分析(即复变函数)来研究关于整数的问题,主要又可以分为乘性数论与加性数论两类。乘性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨素数分布的问题,其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题,华林问题是该领域最著名的课题。

3.代数数论

将整数环的数论性质研究扩展到了更一般的整环上,特别是代数数域。一个主要课题就是关于代数整数的研究,目标是为了更一般地解决不定方程求解的问题。

代数数论更倾向于从代数结构角度去研究各类整环的性质, 比如在给定整环上是否存在算术基本定理等等。

这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密, 它实际上也构成了交换代数理论的一部分。它也包括了其他深刻内容,比如表示论、p-adic理论等等。

4.几何数论

主要在于通过几何观点研究整数(在此即格点, 也称整点)的分布情形。最著名的定理为Minkowski定理。这门理论也是有闵科夫斯基所创。对于研究二次型理论有着重要作用。

5.计算数论

借助电脑的算法帮助研究数论的问题,例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的课题。

6.超越数论

研究数的超越性,其中对于欧拉常数与特定的riemann ζ函数值之研究尤其令人感到兴趣。此外它也探讨了数的丢番图逼近理论。

7.组合数论

利用组合和机率的技巧,非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由保罗·艾狄胥开创的思路。比如兰伯特猜想的简化证明。

8.算术代数几何

这是数论发展到目前为止最深刻最前沿的领域, 可谓集大成者。它从代数几何的观点出发,通过深刻的数学工具去研究数论的性质。比如怀尔斯证明费马猜想就是这方面的经典实例。整个证明几乎用到了当时所有最深刻的理论工具。

当代数论的一个重要的研究指导纲领,就是著名的郎兰兹纲领。

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猜想

●哥德巴赫猜想:是否每个大于2的偶数都可写成两个质数之和?

●孪生素数猜想:孪生素数就是差为2的素数对,例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数?

●斐波那契数列内是否存在无穷多的素数?

●是否存在无穷多的梅森素数?(指形如2-1的正整数,其中指数p是素数,常记为Mp 。若Mp是素数,则称为梅森素数)

●1995年怀尔斯和理查·泰勒证明了历时350年的费马猜想(费马大定理)。

●黎曼猜想



编辑:李佳航、郭玉莹

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